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1、数学课程标准的若干思考,史宁中,东北师范大学，长春，130024,和平面几何改造计划,一、数学课程标准的若干思考,二、平面几何改造计划,1制定数学课程标准的目的,2创新能力的基础,3我国教育的现状,4还缺少什么？,5如何培养归纳能力,6如何改变标准,数学课程标准的若干思考,一、数学课程标准的若干思考,1制定数学课程标准的目的,学生的发展需要：适应市场经济； 国家的发展需要：培养创新性人才必须从基础教 育抓起。,应试教育？减轻学生负担？引发学生学习兴趣？ 是表象不是目的。,成为创新性人才三个条件：意识、能力、机遇。,数学课程标准的若干思考,3我国教育的现状,杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化
2、背景 的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我 在美国学到了归纳能力。（见我的生平） 演绎能力：能够熟练使用演绎推理的能力。 演绎推理来源于亚里士多德，他在工具论提 出了著名的三段论理论，即大前提、小前提、结论。 是一种前提与结论之间有必然性联系的推理，是基于 概念、按照规则进行的推理，是由一般到特殊的推理。,数学课程标准的若干思考,就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符 号，按照规定的法则进行命题证明或者公式推导。 克莱因说：逻辑可以是数学的标准和约定，但不是 它的本质。 就欧氏几何而言，在公理和公设的基础上：“已 知A求证B”，其中A和B都是确切的命题。演绎推 理的主要功能在于验证
3、结论，而不在于发现结论。,数学课程标准的若干思考,这与“数学双基教育”的目的是一致的。 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实； 基本技能（证明技能与运算技能）熟练。 绵延千年的科举：基本功扎实、知识的记忆、八 股文的写作； 重视操作技能：熟能生巧。,数学课程标准的若干思考,4还缺少什么？,根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因” 的能力。,拉普拉斯：甚至在数学里，发现真理的主要工具 也是归纳和类比。 庞加莱：数学推理的性质是什么？真是我们通常 所信为演绎的吗？把它仔细分析一下，可知大为不然， 它在某种范围内却带着归纳推理的性质，其所以丰裕 亦正在此。,数学课程标准的若干思考,现代归纳推理
4、来源于培根，他在新工具论认 为就“帮助人们寻求真理”而言，三段论的“坏作用多 于好作用”。休谟利用这个思想研究了因果关系，已 经成为现代科学的动力。穆尔在他的著作论自由 中系统地总结了归纳推理。 就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳 法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、 比较分类、综合分析等均可被包容。,归纳能力为熟练使用归纳推理的能力。,数学课程标准的若干思考,借助归纳推理可以培养学生 “预测结果”和“探究 成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的 角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生 未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。,与演绎推理相反，归纳推理是一种
5、“从特殊到一 般的推理”。,数学课程标准的若干思考,传统数学教育重视知识的传授和技能的训练。“知 识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以 是思考的结果。” 结果的教育、知识的积累。,5如何培养归纳能力,归纳推理可以表现为一种智慧。“智慧并不表现在 经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在 经验的过程，表现在思考的过程。” 归纳能力是建 立在实践的基础上的。 过程的教育、经验的积累。,数学课程标准的若干思考,我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的， 只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而 依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操 作中磨练。,下面我举例说明。,“过程
6、的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学 生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。 而是，探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测 的过程、推理的过程、反思的过程，等等。,数学课程标准的若干思考,分类在数学中是很重要的，一个好的分类必须抓 住事物的本质特征。对于这样的问题，答案是无所谓 对错的，只要分类的结果与分类的标准一致就可以。 可以让学生感悟到，标准是可以自己订的，这种思维 是创新的根本思维。教师要帮助学生理清思路。,可以给小学三年级以下的学生出这样的题目：,自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和分类的结果。,分类,数学课程标准的若干思考,对于三年级以上的学
7、生，问题可以提得更为深入 一些：,如图所示，桌上散落着一些扣子，请同学们想一 想可以把这些扣子分成几类？分类的标准是什么？然 后，数一数每一类各有多少颗扣子，并用文字、图画 或者列表等方式把结果纪录下来。,这个问题要复杂一些，因为可以逐渐加多分类的 标准，把类分得更细。开始可能不一样，结果会“殊途 同归”。,数学课程标准的若干思考,这个问题就十分复杂了，涉及到不同年龄段以及这个 年龄段的居民所占比例；涉及到不同文化背景及其所占比 例；涉及到不同类型的人看电视的时间；涉及到需要调查 的人数，等等。但是，这个问题的核心还是在于标准和结 果的关系。,某电视台希望了解本地区居民喜欢电视节目的类 型，请
8、同学帮助设计一个调查方案。,学生通过类似这样的贯穿始终的训练，是能够逐 渐领悟归纳的思想的。,到了初中阶段，问题就可以更复杂了：,数学课程标准的若干思考,高斯：在数论中由于意外的幸运颇为经常，所 以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。 欧拉：今天人们所知道的数的性质，几乎由观 察所发现的这类知识是通常所说的用归纳所获得 的。,归纳,（哥德巴赫猜想、费尔玛大定理）,数学课程标准的若干思考,代数的例子,例1在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子 共16个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个 椅子和几个凳子？,这是 “鸡兔同笼” 的问题，但是椅子和凳子相差一条腿，有利于学生进行“尝试”。对于
9、低年级学生，可以让学 生列表尝试：,数学课程标准的若干思考,到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程：,这样，合题意的方程为4a3(16-a)=60。,数学课程标准的若干思考,例2级数求和(数学归纳法),A(n) : 1 + 2 + + n = n(n+1)/2 B(n) : 12 + 22 + + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 C(n) : 13 + 23 + + n3= ?,数学课程标准的若干思考,n=1 2 3 4 5 A(n) : 1 3 6 10 15 B(n) : 1 5 14 30 55 B(n)/A(n) 3/3 5/3 7/3 9/3 11/3 B(n)/A(n)=
10、(2n+1)/3 B(n)=A(n)(2n+1)/3= n(n+1)(2n+1)/6,数学课程标准的若干思考,n=1 2 3 4 5 A(n) : 1 3 6 10 15 C(n) : 1 9 36 100 225 C(n) /A(n) 1 3 6 10 15 C(n)=A(n)A(n)=n2 (n+1)2 /4,1K+2K+ + nK = O(nK+1 ),数学课程标准的若干思考,几何的例子,三棱锥、方棱锥、三棱柱、五棱锥,多面体的欧拉公式：F(面)+V(顶)=E(楞)+2。,数学课程标准的若干思考,平面上三条直线可以形成一个封闭图形； 空间上四个面可以形成一个封闭图形。,几何的例子,庞加莱
11、猜想。,类比,开普勒：我珍视类比胜于任何别的东西，它是我 最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何 中它应该是最不容忽视的。,数学课程标准的若干思考,代数的例子,加法 乘法 交换律 结合律 逆运算 零 元,a+b=b+a,ab=ba,(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc),a+x=b,ax=b,x=b/a,x=b-a,a+0=a,a1=a,数学课程标准的若干思考,这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答 案，而不一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理” 直接给出公式固然是好的，但是通过有规律的计算寻 求这个规律是得到一般结果的有效手段，特别是能够 帮助学生更直观地理解“
12、道理”。这是归纳推理的手法， 也是我们过去的数学教育忽视的地方。,数学课程标准的若干思考,6如何改变标准,“双基”：,“四基”：,基础知识、基本技能,基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,数学课程标准的若干思考,继续：促进学生理解数学的基础知识，训练学生 掌握数学的基本技能,学会：启发学生领会数学的基本思想，帮助学生 积累数学的基本活动经验,希望能够改变过去的教学方法，在教学活动中，,数学课程标准的若干思考,不是简单的叠加，是一个有机的整体，是相互 促进的。加上了后面的“两基”，就必须改造传统的 “双基”，给出充分的空间与时间。,数学课程标准的若干思考,关于时间与空间,几何（形式逻辑）,
13、我们先设这个圆的圆心为O，圆外一点为P，两个切点分别为A 和B，分析下面两种叙述方法：,证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。,数学课程标准的若干思考,代数（技巧技能）,绝对值中的字母。 “韦达”定理。 解方程：列方程、递归（三元二元一元）。 确定二元一次方程的系数。,数学课程标准的若干思考,关于基本思想,“基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学 教学的主线。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学 模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想 还是演绎和归纳。,之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与 换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个 具
14、体的方法可能是重要的，但不具有一般性，作为一种思 想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。 这里所说的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那 种思想方法。,数学课程标准的若干思考,结束语,如果在我国中小学数学教育中，一方面保持“数学 双基教学”合理的内核，一方面添加“基本思想”和“基 本活动经验”，出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的 培养模式，就必将会出现“外国没有的我们有、外国有 的我们也有”的局面，那一天，我们就能自豪地说，我 国的基础教育领先于世界。,数学课程标准的若干思考,1平面几何的教育价值,2现行教育的状况,3改造计划,平面几何改造计划,二、平面几何改造计划,1平
15、面几何的教育价值,几何直观和几何证明,数学直观和数学推理是学习、研究数学的 核心要素,平面几何改造计划,教学直观：对数学对象和对象之间关系的一种直 观判断。,不仅仅在中小学，任何水平的数学教育的最终目的都是要帮助学生建立起一个可靠的直觉。,代数：拉曼纽扬（C. R. 劳统计与真理）,统计：费歇（K. 瑞德奈曼：来自生活的统计学家）,几何,平面几何改造计划,公理、公设、假设来源于生活常识,原因：,等量加等量，合量相等（公理）。 彼此重合的东西全等（公理）。 所有的直角彼此相等（公设）。 两点间直线最短（假设）。,几何问题和证明借助图形,几何证明的核心,给出了证明的出发点：公理、公设、假设 给出了
16、证明的方法：演绎法,2现行教育的状况,本质上是欧氏几何,优点：重视演绎体系和演绎证明 缺点：忽视几何直觉（直观感知，操作确认） 知识过于陈旧,三角形分类：锐角、直角、钝角,平面几何改造计划,等腰三角形与等边三角形,平面几何改造计划,3改造计划,保留优点，克服缺点,多角度观察，折纸、拼图 借助直方图，借助方向、距离、角度，介绍平 移、旋转、反射（小学）,平面几何 （初中）,克服了两个缺点,平面几何改造计划,二维矩阵 （高中）,群 （大学）,保留逻辑,基本出发点：,两点决定一条直线。 连接两点的所有线中直线最短。 图形经过运动不改变图形中两点间的距离。 （推论，不改变两条直线的夹角） 两个图形的任意两个对应点之间的距离相等，其 中一个图形是另一个图形经过运动得到的。 （两个图形重合，其中一个图形是另一个图形通过 运动得到的）,平面几何改造计划,经过平移得到的直线与原直线平行。 经过运动得到的图形与原图形全等。,定义：,
