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1、函数的单调性,设函数 f(x) 的定义域为 I :,一、函数的单调性,注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上可能是减函数.,如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1x2 时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数;,如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格
2、的)单调性, 这一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间.,二、单调区间,1.取值: 对任意 x1, x2M, 且 x1x2;,三、用定义证明函数单调性的步骤,在单调区间上, 增函数的图象自左向右看是上升的, 减函数的图象自左向右看是下降的.,2.作差: f(x1)-f(x2);,3.判定差的正负;,4.根据判定的结果作出相应的结论.,注: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间;,函数的单调区间是连续区间, 若区间不连续, 应分段 考查.,复合函数 fg(x) 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下：,四、复合函数的单调性,五、函数单调性的判定方法
3、,1.定义法:,主要适用于抽象函数或已知函数.,2.导数法:,适用于具体函数.,3.图像法:,4.复合函数单调性的判定:,5.和函数单调性的判定:,解: 函数 f(x) 的定义域为(-, 0)(0, +),典型例题,求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值进行分类讨论.,注: 这个函数的单调性十分重要, 应用非常广泛, 它的图象如图所示:,解: 函数 f(x) 的定义域为-2, +),当 a0 时, f (x)0(x(-2, +),当 a0 时, 定义域-2, +)为 f(x) 的单调递增
4、区间;,4a2(x+2)1,4.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时, 函数 f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时, 函数 f(x) 在(0, 4)内单调递减.,不等式 f (x)0 的解集为(0, 4),0 与 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根,即 kx2+2(k-1)x0 的解集为(0, 4),(2)命题等价于 kx2+2(k-1)x0 对 x(0, 4) 恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价于 kx+2(k-1)0 对 x(0, 4) 恒成立,由于 g(x) 的图象为一条直线,解: 对 f(x)
5、 求导得 f (x)=3kx2+6(k-1)x,(1)函数 f(x) 的单调递减区间是(0, 4),5.已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2), 试确定 g(x) 的单调区间.,解: g(x) 由 f(t)=8+2t-t2 及 t=2-x2 复合而得.,y=f(t)=8+2t-t2=-(t-1)2+9,f(t) 的递增区间是 (-, 1, 递减区间是 1, +).,当 x(-, -1 时, t=2-x2 是增函数, 这时 t(-, 1, y=f(t) 是增函数.,故当 x(-, -1 时, g(x)=f(2-x2) 是增函数;,当 x-1, 0 时, t=2-x2 是增
6、函数, 这时 t1, 2, y=f(t) 是减函数.,故当 x-1, 0 时, g(x)=f(2-x2) 是减函数;,当 x0, 1 时, t=2-x2 是减函数, 这时 t1, 2, y=f(t) 是减函数.,故当 x0, 1 时, g(x)=f(2-x2) 是增函数;,当 x1, +) 时, t=2-x2 是减函数, 这时 t(-, 1, y=f(t) 是增函数.,故当 x1, +) 时, g(x)=f(2-x2) 是减函数;,综上所述 g(x) 的单调递增区间是 (-, -1 与 0, 1;,单调递减区间是 -1, 0 与 1, +).,另解: g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)
7、2 .,对 g(x) 求导得: g(x)=-4x(x2-1),由g(x)0 得: x-1 或 0x1;,由g(x)1.,故 g(x) 的单调递增区间是 (-, -1) 与 (0, 1);,单调递减区间是 (-1, 0) 与 (1, +).,5.已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2), 试确定 g(x) 的单调区间.,分析: 这是抽象函数的单调性问题, 应该用单调性定义解决.,解: 在 R 上任取 x1, x2, 设 x1f(x1) 且:,f(x) 是 R 上的增函数, 且 f(5)=1,当 x5 时 0f(x)1, 而当 x5 时 f(x)1.,若 x1x25, 则 0
8、f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)1;,f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1);,若 x2x15, 则 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1,综上, F(x) 在 (-, 5 上为减函数, 在 5, +) 上为增函数.,f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1).,(1)证: 由已知, 对任意的 x1, x2(-, +) 且 x1x2 有:,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2- x1)-1.,x2-x10, f(x2- x1)1.,f(x2- x1)-10.,f(x2)-f(x1)0 即 f(x2)f(x1).,f(x
9、) 是 R 上 的增函数.,(2)解: f(4)=5, 令 a=b=2 得: f(4)=f(2)+f(2)-1, 从而 f(2)=3.,原不等式等价于 f(3m2-m-2)f(2).,f(x) 是 R 上 的增函数,3m2-m-22, 即 3m2-m-40.,7.函数 f(x) 对任意 a, b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x0 时, 有 f(x)1. (1)求证: f(x) 是 R 上 的增函数; (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)3., f(x) 的定义域关于原点对称, 且对定义域内的任意 x, 有:,解: 要使函数有意义必须:,解得: -
10、1x1 且 x0.,函数 f(x) 的定义域为(-1, 0)(0, 1).,函数 f(x) 是奇函数.,1+x21+x10; 1-x11-x20,即 f(x1)f(x2).,函数 f(x) 在 (0, 1) 内单调递减.,由于 f(x) 是奇函数,故函数 f(x) 在 (-1, 0) 内也单调递减.,9.已知函数 f(x) 的定义域为 (-, 0)(0, +), 且满足条件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 当 x1 时, f(x)0. (1)求证: f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.,(1)证: 在中令 x=y=1,
11、得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0.,令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.,再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).,f(x) 为偶函数.,先讨论 f(x) 在 (0, +) 上的单调性, 任取x1, x2, 设x2x10,f(x2)f(x1).,f(x) 在 (0, +) 上是增函数,由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是减函数.,偶函数图象关于 y 轴对称,(3)解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若 x(x-3)0, f(x
12、) 在 (0, +) 上为增函数,由 fx(x-3)f(4) 得:,2)若 x(x-3)0, f(x) 在 (-, 0) 上为减函数,由 fx(x-3)f(-4) 得:,原不等式的解集为-1, 0)(0, 3)(3, 4.,注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基本方法是变量代换、换元等, 应熟练掌握它们的这些特点.,法二 原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x0, x-30), 由 f(x) 在 (0, +) 上为增函数得: |x(x-3)|4. 再进一步求得解集.,f(x) 在区间-1, 1上是增函数,f (x)0 对 x-1, 1恒成立.,即 x2 -ax -20
13、对 x-1, 1恒成立. ,设 (x)=x2-ax-2.,方法一:,对 x-1, 1, f(x) 是连续函数, 且只有当 a=1 时, f (-1)=0 以及当 a=-1 时, f (1)=0, A=a | -1a1 .,方法二:, 对x-1, 1, f(x) 是连续函数, 且只有当 a=1 时, f (-1)=0 以及当 a=-1 时, f (1)=0, A=a | -1a1 ., 0a1 或 -1a0, -1a1., =a2+80, x1, x2 是方程 x2-ax-2=0 的两实根., -1a1,要使 m2+tm+1|x1- x2| 对任意 aA 及 t-1, 1恒成立,当且仅当 m2+tm+13 对任意 t-1, 1恒成立,即 m2+tm-20 对任意 t-1, 1恒成立.,设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),方法一:, m2 或 m-2.,方法二: 当 m=0 时, 显然不成立; 当 m0 时, m2 或 m-2., 存在实数 m, 使不等式 m2+tm+1|x1-x2| 对任意 aA 及 t-1, 1恒成立,其取值范围是 (-, -2)(2, +)., 存在实数 m, 使不等式 m2+tm+1|x1-x2| 对任意 aA 及 t-1, 1恒成立,其取值范围是 (-, -2)(2, +).,
