《数值计算课件演示教学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算课件演示教学（576页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数值计算方法,机械工业出版社,第1章 数值计算引论 第2章 非线性方程的数值解法 第3章 线性代数方程组的数值解法 第4章 插值法 第5章 曲线拟合的最小二乘法 第6章 数值积分和数值微分 第7章 常微分方程初值问题的数值解法,数值计算方法,第1章数值计算引论 1.1 数值计算方法 1.2 误差的来源 1.3 近似数的误差表示法 1.4 数值运算误差分析 1.5 数值稳定性和减小运算误差,第1章 数值计算引论 数值计算方法与误差分析 理工科大学本科生 科学研究。 现代科学研究的三大手段 理论分析、科学实验、科学计算。 1.1数值计算方法 1.1.1 数值计算方法及其主要内容 1.课程名称：科学
2、与工程数值计算方法 简称：科学计算、科学与工程计算、数值分析、计算方法、数值计算方法。 科学与工程：从实用的角度，将科学研究与工程技术上遇到的实际问题用数学模型来描述，以便进行定量的分析、研究。,3.主要内容：工程上遇到的数学问题 数值计算的误差分析 非线性方程 线性方程组 插值法 最小二乘法 数值积分和数值微分 常微分方程 1.1.2 用计算机解题的步骤 当给定一个科学研究与工程技术上遇到的实际问题时，首先根据专业知识建立实际问题的数学模型，即模型化（modeling)或建模。然后对数学模型进行求解。 数学模型（包括公式、表格、图形等）求解有两条途径：求解析解和数值解。,求解析解，解以表达式
3、表示，这是准确解。 求数值解，解是以一些离散点上取值的形式表示，多数情况下，数值解是近似的，求数值解要用计算机。求数学模型数值解的方法称为数值计算方法。 选择计算方法以后进行程序设计，即用程序语言把算法编成程序，然后上机得出数值解。 实际问题-数学问题(建模)-构造数值计算方法- 程序设计-上机计算-数值解-结果分析,1.1.3 数值计算的特点：对算法的要求。 1.只能包括计算机能够直接处理的运算,即加减乘除等基本运算。 2.能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和稳定性。 3.计算时间少，存储空间小。 4.数值试验证明算法有效。,误差的来源即产生误差的原因。主要有四种： 1.模型误
4、差-建立的数学模型和实际的距离，客观量的准确值与数学模型的准确解的差。 例如自由落体运动方程,1-2 误差的来源,2.观测误差：数学模型当中的参数或常数常常是是观测或实验来的，这样必然有误差，称为观测误差或测量误差，由观测数据而产生的误差。 例如自由落体运动方程,3.截断误差(方法误差)-数学模型的准确解与利用数值计算方法得到的准确解之差。 无穷过程用有穷项代替 例如:无穷级数 取前n项代替,截断误差,用有限的过程代替无限的过程，和用简单的计算问题 代替复杂的计算问题所产生 的误差。,4.舍入误差 ：计算工具字长是有限位，在计算时只能对有限位数字进行运算，超过这个位数时，要舍入，于是产生舍入误
5、差。原始数据、中间步骤和最终结果都可能产生舍入误差。 如圆周率3.14159265 一般实数不能精确存储，例如：在10位十进制数限制下：,1-3 近似数的误差表示,1.3.2 相对误差,1.3.3 有效数字：由绝对误差决定。,若近似值x*的绝对误差(限)是某位的半个单位，则说 x* 精确到该位，若从该位到 x* 的左面第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字。,1.用四舍五入得到的近似数的误差限是末位的半个单位。近似数的误差限是末位的半个单位，则有n位有效数字。因此用四舍五入得到的近似数是有效数字。 2.在公式运算中，要先区分准确量和近似数。准确数有无穷多位有效数字. 3.有效数
6、字位与小数点后有多少位数无直接关系。,1.3.4 有效数字与相对误差,1.定理给出的是一个充分条件，而不是必要条件。定理的逆命题不成立。 2.在实际应用时，为了要使所取近似数的相对误差满足一定要求，可以用定理，确定所取近似数应具有有效数字的位数。,1.定理给出的是一个充分条件，而不是必要条件。定理的逆命题不成立。即若近似数有n位有效数字，相对误差不一定满足定理。 2.在实际应用时，为了要使所取近似数具有n位有效数字， 要求所取近似数的相对误差满足定理的要求。,1.4 数值运算误差分析 函数运算误差 算术运算误差,1.5 数值稳定性和减小运算误差 在计算过程中误差不会扩大或对计算结果的精度要求影
7、响不大。 减小运算误差: 1 要避免两相近数相减。 2 要防止大数吃掉小数 。 3 要避免除数绝对值远小于被除数绝对值 。 4 注意简化计算步骤，减少运算次数 。,例：计算积分,写成递推公式,误差传递规律,公式改为,则误差按规律,逐渐缩小,1.5.1 数值稳定性: 一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳定性。否则，就称数值稳定性不好。因此要设法控制误差的传播 。,1.5.2 减小运算误差,1.要避免相近两数相减 13.5846-13.5839=0.0007 6位有效数字变成了1位有效数字。损失了有效数字的位数。,当x接近于0时，应,例 解一元二次方程a x2+ bx
8、+c=0 ，其中-b , c,2 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要物理参数。,在8位十进制计算机上计算。要规格化和对阶。,结果，大数“吃掉”小数。,类似地,改变计算方法,例 在5位十进制计算机上计算,在5位十进制计算机上计算。要规格化和对阶。,结果，大数“吃掉”小数。,改变计算方法，按绝对值由小到大相加。,3 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累,例：计算 的值。,又如,只需14次乘法。,采用“秦九韶算法”,例：计算多项式,只需n次乘法和n次加法。,第2 章 非线性方程的数值解法 2.1 初始近似值的搜索 2.2 迭代法 2.3 牛顿迭代法（切线法） 2.4 弦截法（割线法）,2.
9、1 初始近似值的搜索 2.1.1方程的根,单根和重根,有根区间,假设f(x)在区间a,b内有一个实根x*,若 b a较小，则可在(a,b)上任取一点x0作为初始近似根。 一般情形，可用逐步搜索法。,2.1.2 逐步搜索法,例 对方程 搜索有根区间。 解 由于f(x)是连续函数， f(0)= -10，故方程 至少有一正实根。设从x=0 出发，取h=0.5为步长，逐步 右跨搜索，得,所以f(x)在区间（1,1.5）上单调连续，因而在(1,1.5)内有且仅有一个实根，故可取1 ,1.5上任一点做初始近似根。,可见在（1，1.5）内有根。又,2.1.3 区间二分法 定理 函数f(x)在a,b上单调连续
10、，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在区间a,b上有且仅有一个实根x*。 二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。,令,近似根xk的误差估计,中点,这时有三种情况：,f(x0)=0, x0为所求的根. f(x0)和a0 同号，取x0 = a1 f(x0)和b0 同号，取x0 = b1,x*,x*,新的有根区间为(a1 , b1 ) ，长度是原来的一半。,如此反复，有,( a k , b k ) , k=0,1,2,.,近似根xk的误差估计,第
11、2次二分，取中点,若 f(a1 )f(x1 )0，则 x*( a1 , x1 )，,令a2=a1 , b2=x1；,否则 令 a2=x1 , b2=b1 。,新的有根区间为(a2 , b2 ) 。,由此得二分过程结束的原则：,先给定精度要求(绝对误差限)，,（2）当|bk+1 ak+1| 时结束二分计算，取 x*xk ；,（1）事先由估计出二分的最小次数 k ，取 x*xk,2.2 迭代法 2.2.1 迭代原理 2.2.2 迭代的收敛性 2.2.3 迭代的收敛速度 2.2.4 迭代的加速,预备定理,2.2.1 迭代原理,计算结果见下表,方程f(x)=0化为等价形式的方程 x=(x) ， 构造迭
12、代公式 xk+1= (xk ) , k=0,1,2, 取初始近似根x0 ,进行迭代计算 x1= (x0), x2= (x1),. 则有x1 , x2 , . , xk , .,得到迭代序列xk . 如果这个序列有极限，则迭代公式是收敛的。这时 则 ， x* 为不动点，等价地有 f(x*)=0, x* 即为方程的根。连续函数 (x)称为迭代函数。 实际计算到 |xk xk-1 |（是预定的精度），取x*xk 。,迭代公式收敛指迭代序列xk 收敛，迭代公式发散指迭代序列xk 不收敛，即发散。迭代公式不一定总是收敛。 例如求方程 f(x)=x3-x-1=0的一个根。 对应的迭代公式为,取初值,迭代序
13、列xk 发散.,x1= (x0 ),x2= (x1 ),迭代法收敛与发散的图示,迭代法的收敛与发散,收敛的情形 发散的情形,2.2.2 迭代的收敛性 迭代法的收敛条件及误差估计式 定理（充分性条件） 设函数 (x) 在a, b上连续，且 (1)对 xa, b,有 (x) a, b (2) 存在0 L 1，使对任意 x a, b有 | (x)| L 1 则方程x= (x)在 a, b上的根x*存在且唯一；对初值 x0 a, b ,迭代过程 xk+1= (xk)均收敛于方程的根x*。,定理中的 (1)对 xa, b,有 (x) a, b，称为适定性（映内性）。,证明 先证根的存在性。 作连续函数(
14、x)=x-(x),由条件（1）xa, b, (x) a, b，即a (x)、xb ,于是 (a)=a- (a) 0 (b)=b- (b) 0 由于 (x)是连续函数，故必存在 x* a, b 使 (x*)=0.即 (x*)= x*- (x*)=0. 于是 x*= (x*)即x*为方程 x= (x)的根。 其次，证根的唯一性 。 设y*也是方程的根，则x*= (x*), y*= (y*), x*- y*= (x*) (y*)= ()(x*- y*) x*- y* ()(x*- y*)=0， （x*- y*）1- ()=0 由条件（2）| (x)| L 1，故有x*-y*=0，即x*=y* 所以方
15、程在a,b的根唯一。,再证迭代的收敛性 。,由xk= (xk-1 ) , x*= (x*), 有,|xk - x*| = | ()(xk-1-x*)|L |x k-1- x*|,L2|xk-2-x*|,L3| xk-3-x*|,Lk |x0-x*|,0 （k）,所以，对a,b上任取的x0 ,迭代公式xk+1= (xk )都收敛于x*。 L越小收敛得越快。,定理是充分性条件,xk - x* = (xk-1) (x*)= ()(xk-1-x*),推论：在定理的条件下，有误差估计式 验后误差估计式 验前误差估计式 证明：,|xk - x*| L |x k-1- x*|= L |x k-1- x k + x k -x* | L （|x k- x*|+ |x k-1- x k |） （1-L) |x k- x*| L |x k-1- x k|,迭代法的终点判断：只要相邻两次迭代值的偏差充分小，就能保证迭代值足够准确，因而用 |x k- x k-1|控制迭代过程的结束。,定理 设在区间a, b上方程 x= (x) 有根x*,且对一切xa, b 都有| (x)| 1，则对于该区间上任意x0(x*), 迭代公式xk+1= (xk )一定发散。,证明,不可能收敛于0。,计算结果见下表,取方程的根 2.0946。,由于 ，故取,迭代法的局部收敛性,由于在实际应用中根 x* 事先
