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1、 1质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标标为：= (1) r (2)试求总动量及总角动量在, 表象中的算符表示。1. 解 （a）合动量算符。根据假设可以解出，令：（）（）设各个矢量的分量是，,和。为了计算动量的变换式先求对，等的偏导数： （5） （6）关于， 可以写出与（5）（6）类似的式子，因而： =(b)总角动量 =利用（3），（4），（5），（6）： = =因而 2证明 ， （证明）第一式 = 但 += +即 =同样写出关于y,z的式子，相加得： +=因是任意函数，因而第一式得证。第二式的证明：该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蒋它运算于任何函数，要注意 标量算符而
2、 是矢量算符： = 因此在出写出关于y,z的式子后有 3中心力场中的经典粒子的哈密顿量是 其中。当过渡到量子力学时，要换为 问是否厄米算符？是否厄米算符。（解）对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式 （）=若,则 因为,等自身是厄米的,因而有 要看出,的关系将作用于任意函数： = = =即 ，因而不是厄米算符。因为利用以上结果，或者直接对取厄米共轭式，都证明因此可认为是厄米的，证明在后面，但是关于这问题学术上有争论，因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。CfRLLiboff: American Journal of Physics 976(
3、1973) = = CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961) 4经典力学中在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？ （解） = + + = + + = 206物83309蒋 最后一式加上下述这个等于零的式子：得：因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。 5求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。（解）本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作： （1）但是玻尔半径，将（1）代入三维的座标，动量波函数变换式，此式是： (2)为使计算简单，可选择z轴与动量的
4、瞬时方向重合，这样 207将（2）中的用（1）式代入，进行积分，积分的次序是，r： = = = = = （3）其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计算与座标有关的平均值时，用为波函数，反之计算动量平均值时，可用动量波函数：测不准关系的验证，是通过一个指定方向（如x轴）的分量间关系： 208 物83 309蒋 = = = (4)在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系，设动量相空间直角坐标为，则球面极座标用表示， = （5） 209 = (6)与p有关的积分可用替代入(6)式的第一道积分，得： = = 代入（6）得： =代入测不准关系式： 6在动量表象中写
5、出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。（解）（一）建立动量表象的能量本征方程式，势能为此先写下座标表象的薛氏方程式（直角坐标还是球面极座标不分）： 遍乘，并对座标积分： （1）等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程： （2）得： （3）式中 （4） （二）核的计算： 先作（4）式类似的计算，假设是个座标表象的波函数，它的 211 相应的动量表象函数是，则正逆两种变换是： （5） （6） 将拉普拉斯算符 作用于两边，得： （7）根据（7）式写出它的逆变换式，并且与（5）式对比，有： = （8）将（4）（5）二式比较知道只需在中作置
6、换，再乘 （9）因此我们最后得到动量表象的三维能量本征方程式，专用于库仑场。 = （10） （三）动量表象中，角动量分量守恒的证明。有两面种方法，或用直角坐标表示角动量算符，或用球面极座标表示，用前者较为简单，要证明角动量分量（例如）是守恒量，其必要条件是它可以和哈密顿算符对易，即： （11）这里，用动量表象书写时，可以用直角坐标表标表象的式子加以适宜的置换来得到这种置换是： 因而得到 （12）至于，的动量表象依类似方法。（10）式中的哈氏算符可从（10）看出： （13）右方第二项是“积分算符”，当它运算于时，就相当于将填入括号（ ）。设想对易算符作用在一个任意的动量表象的波函数上面： (14) 假使能证明I=0，则因为任意，我们便证明了（11），将（13）代入（14） = （15）分别计算动能与势能这两部分的对易算符,先计算动能部分的： =
