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1、第8讲 空间几何体备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一【课标要求】1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；二【命题走
2、向】近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养好空间想能力。预测2010年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。三【要点精讲】1柱、锥、
3、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面
4、是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面
5、和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图
6、：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；3空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平
7、行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点四【典例解析】题型1：空间几何体的构造例19，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B2. (2009湖南卷理)正方体ABCD的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）A2 B3 C. 4 D. 5【答案】：C【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项（3）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到
8、直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是 A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线解析： 点P到A1D1的距离为，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P的轨迹是两个点。选项为C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。例2（07江苏9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1个B2个 C3个D无穷多个解析：由于两个正四
9、棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型2：空间几何体的定义例3（2009四川卷理）如图，在半径为3的面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D.【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径
10、，故，所以两点的球面距离为，故选择B。解析2：过球心作平面的垂线交平面与，则在直线上，由于，所以，由为等腰直角三角形可得，所以为等边三角形，则两点的球面距离是。例42009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型3：空间几何体中的想象能力例5（2009北京卷理）（本小题共14分） 如图，在三棱锥中
11、，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平
12、面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.例6（2009全国卷文）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C
13、的中点，DE平面BCC1（）证明：AB=AC（）设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。解法一：（）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。ACBA1B1C1DE连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE。又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足
14、为G，连接CG。由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600. 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。连接CH，则ECH为与平面BCD所成的角。因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.解法二：（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），
