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1、数学史期末复习资料数学史的三大危机：初等：第一次危机：毕达哥拉斯学派主张万物皆数（有理数）无理数欧多克斯1.古希腊数学*2.中世纪东方数学（中、印）3.欧洲文艺复兴近代（17C）：第二次：微积分极限柯西运动与变化函数现代（19C下半叶）：第三次危机：罗素悖论（集合）公理化0-数学史1. 数学史的分期通常采用的线索：（1）按时代顺序（2）按数学对象、方法等本身的质变过程（3）按数学发展的社会背景。2.数学史的四个分期：I数学的起源与早期发展（萌芽时期，公元前6世纪前）II初等数学时期（公元前6世纪-16世纪）（1） 古希腊数学（公元前6世纪-16世纪）（2）中世纪东方数学（3世纪-15世纪）（3
2、）欧洲文艺复兴时期（15世纪-16世纪）III近代数学时期（或称 变量数学建立时期，17世纪-18世纪）IV现代数学时期（1820-现在）（1） 现代数学酝酿时期（1820-1870）（2） 现代数学形成时期（1870-1940）（3） 现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950-现在）3. 使用位值制的两种数字：巴比伦楔形数字和中国筹算数码。最早使用位值制的国家是古巴比伦，最早使用十进制位值得国家是中国。4. 埃及数学：古埃及人用纸莎草书写，关于古埃及数学知识主要依据莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。5. 美索不达米亚数学：主要著作泥版文书。2.古代希腊数学1.泰勒斯证明了四条定理： (1)圆的
3、直径将圆分为两个相等的部分 (2)等腰三角形两底角相等 (3)两直线相交形成的对顶角相等 (4)如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。他是最早的希腊数学家和古希腊论证几何学鼻祖。2. 毕达哥拉斯学派的基本信条是：万物皆数。毕达哥拉斯可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。3. 普鲁塔克的面积剖分法证明勾股定理。4. .雅典时期的希腊数学学派：（1）伊利亚学派 （2）诡辩学派 （3） 雅典学院（柏拉图学派）（4）亚里士多德学派5. 三大几何问题：（1）化圆为方，即做一个与给定面积相等的正方形。诡
4、辩学派安提丰，提出了用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方-穷竭法。（2） 倍立方体，即求作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。梅内赫莫斯，圆锥曲线（3） 三等分角，即分任意角为三等分。6. 逻辑演绎结构的倡导：柏拉图、亚里士多德7. 欧几里得与原本（1） 公设：a.假定从任意一点到任意一点可作一直线b. 一条有限直线可不断延长c. 以任意中心和直径可以画圆d. 凡直角都彼此相等e. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。（2）公理：a .等于同量的量彼此相等b.等量加等量，和相等c.等量减等量，差相等d.彼此
5、重合的图形是全等的e.整体大于部分（3） 比例论，它代表了原本的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。8.阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题，在圆的度量中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。9. 阿波罗尼奥斯：圆锥曲线论10. 三角学的建立最卓越的代表人物托勒玫，它的著作总结了在他之前的古代三角学知识，为三角学的进一步发展和应用奠定了基础。丢番图：算术 帕波斯：数学汇编3.中世纪的中国数学1.中国数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到中国古典数学的顶峰。2.九章算术采用问题集的形式，全书共24
6、6个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中包含的数学成就是丰富和多方面的。3. 壍堵（底面为直角三角形的正柱体）；阳马（底面为长方形而有一棱与底面垂直的椎体）；鳖臑（底面为直角三角形而有一棱与底面垂直的椎体）。4.刘徽最突出的成就：割圆术和体积理论。著作：九章算术注、海岛算经5.祖冲之，代表性著作是缀术，他算出圆周率数值上下限3.1415926（朒数）3.1415927（盈数） (2) 祖式原理：出入相补原理； 幂势既同，则积不容异。6. 缉古算经是十部算经中年代最晚的一部。7、宋元四大家：杨辉、秦九韶、李治、朱世杰秦九韶 代表作数书九章8.首先系
7、统阐释天元术的是李冶：测圆海镜、益古演段。四元术最早出现在朱世杰的四元玉鉴中。“天”“地”“人”“物”。4.印度与阿拉伯数字1.印度是最早用圆圈符号表示零的国家和最早使用数字。用圆圈符号“0”表示零，可以说是数学史上的一大发明。2. “悉檀多”时期：阿耶波多，婆罗摩笈多，玛哈维拉，婆什伽罗。（1） 阿耶波多建立丢番图方程求解所谓“库塔卡”方法。（2） 玛哈维拉，计算方法纲要（3） 婆什伽罗莉拉沃蒂、算法本源3. 花拉子米，“代数学”这个词最早出现在他的还原与对消计算概要中。5.近代数学的兴起1.欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契。2. 卡尔丹公布了所有三次方程的解法。费拉里，解决
8、了四次方程。韦达，数学符号系统化。笛卡尔，完成对韦达所使用的代数符号的改进工作。他首先用拉丁字母的前几个表示已知量（a、b、c）后几个表示未知量（x、y、z）3. 富有文艺复兴特色的透视学的兴起是由于文艺复兴时期绘画、制图中提出的这类问题的刺激。4. 纳皮尔，首先发明对数方法。 布里格斯：“常用对数”5. 解析几何：1.定义：用代数方法解决几何问题诞生及其意义：最重要的前驱：奥雷斯姆 论形态幅度但解析几何的真正发明归功于笛卡尔和费马；笛卡尔发表方法论，解析几何的发明包含在几何学这篇附录中，笛卡尔的出发点是一个著名的古希腊数学问题帕波斯问题。6. 费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥的论平
9、面轨迹，他为此而写了一本题为论平面和立体的轨迹引论，书中清楚地阐述了费马的解析几何原理。6.微积分的创立1.与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。2. 半个世纪的酝酿：卡瓦列里不可分量原理：计算出许多立体图形的体积。笛卡尔在几何学中提出了求切线的所谓圆法，本质上是一种代数方法。费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数的方法。巴罗给出了求曲线切线的方法，几何讲义。3. 流数简论是历史上第一篇系统的微积分文献。4.牛顿微积分学说最早公开在1687年出版的力学名著自然哲学的数学原理，成为数学史上划时代的著作。5.1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文一种求极大值与极小值和求切线的新方法
10、，是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。7151. 欧拉在1748年出版的无限小分析引论以及微分学和积分学引进一批符号：f（x）函数符号 求和号 e 自然对数底 i 虚数单位2. 布莱尼茨首先使用了函数这一术语。3. 学习数学史的意义：（1）可以丰富课堂内容：由于数学史揭示数学知识的来源于应用，因此可以将它运用于课堂导入、课堂活动资源或后续的拓展性学习等。（2）用来促进学生对知识本质的理解：数学史展示数学知识的起源、形成、与发展过程，诠释数学的源流。（3） 用来解决学生学习过程中出现的问题。（4） 可以树立学生学习数学的信心，增强民族自豪感：通过阅读数学家们在成长过程中遭遇的挫折，使同学能够正
11、确看待学习过程中的困难。4. （特例）非欧几何代表人物，高斯、波约、罗巴切夫斯基（非欧几何之父）。5. 柯西：分析教程、无限小计算教程概论。6. 魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。7. 20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势： 更高的抽象性；更强的统一性；更深入的基础探讨。8. 希尔伯特提出的23个数学问题，是20世纪前半叶数学研究的主要方向。9. 第三次数学危机：产生：罗素的悖论。 消除：策梅洛-弗兰克尔公理系统。通过对集合类型加以适当限制，达到了避免罗素悖论的目的。10. 数学基础的三大学派：（一）逻辑主义：罗素 （二）直觉主义：布劳威尔 （三）形式主义：希尔伯特 11. 第一台能做加减运算的机械式计算机是由帕斯卡发明的。12. EDVAC方案，史称“101页报告”（冯诺依曼）13. 1976年以后，中国数学家吴文俊开辟了一条定理机器证明的代数化途径。吴文俊被称为“中国人工智能之父”。
