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1、. . 河北武邑下学期高三第四次模拟考试 数学（文）试题 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 2 230Ax xx，ln 2Bx yx，则A BI（） A1,3 B1,3 C1,2 D1,2 2已知集合 02Axx， 2 10Bx x，则ABU（） A1,1 B1,2 C1,2 D0,1 3若 1 12 2 ai i i ，则a（） A5i B5i C5i D5i 4设fx是定义在R上周期为2 的奇函数，当01x时， 2 fxxx，则 5 2 f （） A 1 4 B 1 2
2、 C 1 4 D 1 2 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A3612 B3616 C4012 D40 16 6下列说法正确的是（） Ax，yR若0 xy，则1x且1y BaR， “ 1 1 a ”是“1a”的必要不充分条件 C命题“xR使得 2 230 xx”的否定是“xR都有 2 230 xx” D “若 22 ambm则ab”的逆命题为真命题 7某一算法框图如图所示，则输出的S值为（） . . A 3 2 B 3 2 C3 D0 8 算术法竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中 记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高
3、乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面 周长L与高h，计算其体积V的近似公式 2 1 36 VL h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似为 3， 那么近似公式 27 264 VL h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（） A 22 7 B 25 8 C 23 7 D 157 50 9已知某椎体的正视图和侧视图如图，则该椎体的俯视图不可能是（） A B C D 10已知函数3sin 2cos2fxxx的图象在区间0, 3 a 和 4 2 , 3 a 上均单调递增，则正数a的取值 范围是（） A 5 , 612 B 5 , 12 C, 4 D 2 , 43 11已知lnxx， 5
4、 log 2y， 0.5 ze，则（） Axyz Bxzy Czyx Dyzx 12对任意的0 x，总有lg0fxaxx，则a的取值范围是（） A ,lglg lgee B,1 C1,lglg lgee Dlglg lg,ee 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） . . 13已知m、n为正实数，向量,1am r ，1,1bn r ，若a b rr ，则 12 mn 的最小值为 14已知函数fx 2 log2017,0 2 ,0 xx fxx ，则2016f 15在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 22 40 xyx. 若直线1yk x上存在点P
5、，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 16已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，222ABADCD，将直角梯形ABCD沿 AC折成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的体积为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知数列 n a的各项均是正数，其前n项和为 n S，满足4 nn Sa（ * nN）. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 2log n n b a （ * nN） ，数列 2nn bb的前n项和为 n T，求证： 3 4 n T 18某农场计划种植某种新作物，为此对
6、这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间实验. 选取两大块地分成n小块地， 在总共2n小块地中， 随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙. （1）假设2n，求第一大块地都种植品种甲的概率； （2）试验时每大块地分成8 小块，即8n，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产 量（单位： 2 /kghm）如下表： 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据实验结果， 你认为应该种植哪一品种？ 19如图三棱柱 111 ABCA B C中，侧面 11 BB C C为菱形， 1 B C的中点为O，且AO平面 11 BBC C. （1）证明： 1 B C
7、AB； （2）若 1 ACAB， 1 60CBB，1BC，求三棱柱 111 ABCA B C的高 . 20 已知直线l：242xy与椭圆C： 22 1mxny（0nm） 有且只有一个公共点22,2M. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，动点Q满足QBAB，连接AQ交椭圆于点 . . P，求OQ OP uuu r uu u r 的值 . 21设函数 1 x e fx x ， （1）求fx在1x处的切线方程； （2）证明：对任意0a，当0ln 1xa时，1fxa. 22在极坐标系下，知圆O：cossin和直线l： 2 sin 42 （0，02）. （1）
8、求圆O与直线l的直角坐标方程； （2）当0,时，求圆O和直线l的公共点的极坐标. 文科数学参考答案 一、选择题 1-5:CBDCC 6-10:BDADB 11、12： DA 二、填空题 1332 2 142018 152 2, 22 16 4 3 三、解答题 17解：（1）由4 nn Sa，得 11 4Sa，解得 1 2a 而 11nnn aSS 1 44 nn aa 1nn aa，即 1 2 nn aa， 1 1 2 n n a a 可见数列 n a是首项为2，公比为 1 2 的等比数列 . 12 11 2 22 nn n a ； （2） 2 1 2log n n b a Q 11 22nn
9、 ， 2 1 2 nn b b n n 111 22nn 故数列 2nn b b 的前n项和 . . 1111 1 2324 n T 1111 3546 L 1111 112nnnn 1111 1 2212nn 1311 2212nn 31 42 113 124nn 18解： （1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件 A “第一大块地都种品种甲”.从 4 小块地中任选2 小块地种植品种甲的基本事件共6 个：1,2，1,3，1,4， 2,3，2,4，3,4. 而事件A包含 1 个基本事件：1,2. 所以 1 6 P A； （2）品种甲的每公顷产量的样
10、本平均数和样本方差分别为： 1 403397390 8 x甲404388400412406400， 22 21 3310 8 S甲 2 22 4120 22 12657.25， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 1 419403412 8 x乙418408423400413412， 2 222 1 790 8 S乙 2 22 6411 2 2 12156， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故 应该选择种植品种乙. 19解：（1）连接 1 BC，则O为 1 B C与 1 BC的交点，因为侧面 11 BBC C为菱形，所以
11、11 B CBC. 又AO平面 11 BB C C，所以 1 B CAO，故 1 B C平面ABO. 由于AB平面ABO，故 1 B CAB. （2）作ODBC，垂足为D，连接AD. 作OHAD，垂足为H. 由于BCAO，BCOD， 故BC平面AOD，所以OHBC，又OHAD，所以OH平面ABC， 因为 1 60CBB，所以 1 CBBV为等边三角形，又1BC， 可得 3 4 OD. 由于 1 ACAB，所以 1 11 22 OAB C. 由OH ADOD OA，且 227 4 ADODOA，得 21 14 OH. 又O为 1 B C的中点，所以点 1 B到平面ABC的距离为 21 7 故三棱
12、柱 111 ABCA B C的距离为 21 7 . . . 20解：（1）椭圆C的方程为 22 1 168 xy . （2）设 0 4,Qy， 11 ,P x y，又4,0A，4,0B， 11 ,OPxy uu u r ， 0 4,OQy uuu r . 直线AQ的方程为 0 4 8 y yx. 22 0 1 168 4 8 xy y yx 222 00 328yxyx 2 0 1632 160y. 2 0 1 2 0 8 4 32 y x y 2 0 1 2 0 8 4 32 y x y . 101 4OQ OPxy y uuu r uu u r 0 10 44 8 y xyx 2 0 2
13、0 8 4 4 32 y y 22 00 2 0 8 8 832 yy y 2 0 2 0 32 16 32 y y 4 20 0 2 0 16 32 y y y . 21解：（1） 2 1 xx e xe fx x ， 11f，11fe， fx在1x处的切线方程为11yex，即20 xye （2）证明： 1 1 x ex fx x 1 x ex x 设1 x xex，1 x xe， 0 x0 x，故x在,0内递减，在0,内递增 00 x即10 x ex， 当0ln 1xa时，1fxa 1 x exa x， 即当0ln 1xa时，110 x ea x， （） 当ln 10ax时，110 x e
14、a x， （） 令函数11 x g xea x，11 x h xea x 注意到000gh，故要证（） （） ， 只需要证g x在 0,ln 1a内递减，h x在ln 1,0a递增 当0ln 1xa时，1 x gxea ln 1 10 a ea . . 当ln 10ax时， ln 1 1 ax h xeae 2 10 1 a a a 综上，对任意0a，当0ln 1xa时，1fxa 22解：（1）圆O：cossin，即 2 cossin，故圆O的直角坐标方程为： 22 0 xyxy，直线l： 2 sin 42 ，即sincos1，则直线的直角坐标方程为： 10 xy. （2）由（ 1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得 22 0 10 xyxy xy 解得 0 1 x y . 即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为0,1，转化为极坐标为1, 2 .
