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1、金山中学2019学年第一学期高二数学期中考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知全集，则_.【答案】3【解析】【分析】先根据和确定是中元素，不是中元素，由此计算的值.【详解】因为，所以，解得.【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素.2.方程组增广矩阵为_【答案】【解析】【分析】直接利用增广矩阵的概念得到答案.【详解】的增广矩阵为 故答案为：【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.3.若，则化简后的值等于_【答案】【解析】【分析】由题意可知，为三阶行列
2、式中元素的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出的值.【详解】由题意可知，为三阶行列式中元素的代数余子式，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.幂函数经过点，则此幂函数的解析式为_.【答案】【解析】设幂函数为，代入点，所以所以，填。5.若直线过点，且法向量为，则直线的点方向式方程为_【答案】【解析】【分析】求出直线的一个方向向量，根据直线的点方式方程可得出直线的点方向式方程.【详解】由于直线过点，且法向量为，则直线的一个方向向量为，因此，直线的点方向式方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线的点方向式方程的求解
3、，求出直线的方向向量是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.6._【答案】【解析】【分析】运用等差数列的求和公式和，结合极限的运算性质可得所求值【详解】故答案为：【点睛】本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查运算能力，属于基础题7.设为奇函数，且当时，则当时，=_【答案】【解析】【分析】根据函数是奇函数，得，由，得，代入已知的函数关系中，可得解.【详解】是奇函数， ，因为时，当时，所以时，故填：.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求对称区间上的函数解析式，属于基础题.8.若，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示得出，利用正弦函数的最
4、值可得出实数的最小值.【详解】，且，则，由于，因此，实数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的最值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.9.过直线上的一点作圆的两条切线，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为_【答案】【解析】不妨设与交点为，圆心，当，关于对称时，则直线，则，设在上的切点为，则，故，夹角为，故答案为.10.已知、是关于的方程的两个实数根，则经过两点、的直线与圆公共点的个数是_【答案】或【解析】【分析】列出韦达定理，求出直线的方程为，可求出直线所过定点的坐标，并判断点与圆的位置关系，从而可得出直线与圆的公共点个数.【详解】由韦达定
5、理得，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，即，即，即，令，得，所以，直线恒过定点.，则点在圆上，因此，直线与圆的公共点个数为或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的公共点个数的判断，同时也考查了韦达定理的应用，求出直线所过定点的坐标是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.11.设，为不同的两点，直线，以下命题中正确的序号为_ (1)不论为何值，点N都不在直线上；(2)若，则过M，N的直线与直线平行；（3）若，则直线经过MN的中点；（4）若，则点M、N在直线的同侧且直线与线段MN的延长线相交【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用分母不等于零判断(1)，利用斜率相
6、等判断（2）；利用中点坐标满足方程判断（3）；根据，以及M、N在直线的距离不同判断（4）.【详解】(1)因为，所以不在直线上，正确；（2）时，由可得，化为，即直线的斜率为，所以过M，N的直线与直线平行，时，过M，N的直线与直线都与轴平行，综上可得（2）正确；（3）时，化为，即直线经过MN的中点，正确；（4）可得，可得M、N在直线的同侧，进而得，M、N在直线的距离不同，直线与线段MN的延长线相交，正确.即正确命题的序号为(1)(2)(3)(4)，故答案为(1)(2)(3)(4).【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查直线的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们
7、往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.如图，正方形边长为米，圆的半径为米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以米/秒的速度从出发向移动，同时，点以米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约_秒（精确到）【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出点、的坐标和直线的方程以及圆的方程，利用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件下，解
8、不等式即可得出所求时长.【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系：可设点，可得出直线的方程为，圆的方程为，由直线与圆有公共点，可得，化为，解得，而，因此，点在点的盲区中的时长约为秒.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查坐标法与一元二次不等式的解法，属于中等题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.函数的定义域为，值域为，则的最大值是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】如图.要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是. 选C.14.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是A. 系数行列式B. 比例式C.
9、 向量不平行D. 直线，不平行【答案】D【解析】【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到为充要条件，直线分共面和异面两种情况【详解】解：当两直线共面时，直线，不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线，不平行，二元一次方程组无解，故直线，不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件故选：D【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题15.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意得知与同向的单位
10、向量和与同向的单位向量是相反向量，由此可得出、方向相反，由此可得出正确选项.【详解】由题意知，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以，、方向相反.因此，使得成立的条件为.故选：A.【点睛】本题考查了相反向量的概念，同时也考查了与非零向量同向的单位向量概念的理解，考查推理能力，属于基础题.16.到两条坐标轴距离之差的绝对值为的点的轨迹是（ ）A. 两条直线B. 四条直线C. 四条射线D. 八条射线【答案】D【解析】【分析】设所求动点的坐标为，可得出动点的轨迹方程为，可得出、，分析出方程所表示的射线条数，从而可得出动点轨迹对应的射线条数.【详解】设所求动点的坐标为，可
11、得出动点的轨迹方程为，所以，或，下面来考查所代表的射线条数.当，时，；当，时，；当，时，；当，时，.可知方程代表四条射线，同理可知方程也代表四条射线.因此，到两条坐标轴的距离之差的绝对值为的点的轨迹是八条射线.故选：D.【点睛】本题考查动点轨迹形状的判断，求出动点的轨迹方程是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.在中，已知、（1）若点坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）
12、作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（2）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出的值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.【详解】（1），即，且，设点的坐标为，解得，.直线的斜率为，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，解得或.因此，关于的函数关系式为或.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点
13、到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足（1）求动点所在曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且满足，又点关于原点的对称点为点，求点、的坐标【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）求出向量、的坐标，结合条件可得出动点的轨迹方程；（2）得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出的坐标，再由点关于原点的对称点为点，可求出点的坐标.【详解】（1），即，化简得，即，因此，曲线的方程为；（2）设点、，直线的方程为，将直线的方程
14、与椭圆的方程联立，得由韦达定理得，所以，点的坐标为，又点关于原点的对称点为点，则点的坐标为.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，涉及了利用向量的坐标运算求解点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.19.有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，现地的居民从、两地之一购得商品后回运的运费是：地每公里的运费是地运费的倍，已知、两地相距，居民选择或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低（1）求地的居民选择地或地购物总费用相等时，点所在曲线的形状；（2）指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点【答案】（1）点所在曲线的形状是圆；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，设点，然后根据题意建立、的方程，即可得出动点的轨迹方程，即可判断出点所在曲线的形状；（2）先考虑居民在地购货费用较低，得出，由此得出，可得出圆内的居民从地购货费用较低，同理得出圆外的居民从地购货费用较低【详解】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，则、，设地的坐标
