13、2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题五　第2讲　计数原理、二项式定理与随机变量及其分布列

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1、第2讲计数原理、二项式定理 与随机变量及其分布列,近五年高考试题统计与命题预测,1.(2019全国,理4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为() A.12B.16C.20D.24 答案:A,答案:D,5.(2019全国,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是. 解析:前五场中有一场客场输时,甲队以41获胜的概率是0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输

2、时,甲队以41获胜的概率是0.40.620.520.6=0.072.综上所述,甲队以41获胜的概率是0.108+0.072=0.18. 答案:0.18,6.(2019全国,理18)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成1010平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方1010平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束. (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率. (1)证明:X=2就是1010平后,两人又打了两个球该局比赛结束,

3、则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5. (2)解:X=4且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.,7.(2019天津,理16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立. (1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)设M为事件“

4、上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.,8.(2019北京,理17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:,(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率; (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人

5、数,求X的分布列和数学期望; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.,(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000 元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得 答案示例1:可以认为有变化.理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生

6、了变化.所以可以认为有变化. 答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下: 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.,9.(2019全国,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得

7、1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.,(1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8. ()证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列; ()求p4,并根据p4的值解释这种试验方

8、案的合理性.,解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-), P(X=0)=+(1-)(1-), P(X=1)=(1-). 所以X的分布列为,一、排列组合问题的几种解法 1.有附加条件的排列组合问题,需分类讨论,注意不重不漏. 2.相邻问题,先捆绑再松绑. 3.不相邻问题,插空法处理. 4.相同元素的分配,“隔板法”处理. 5.不同元素的分配,先分组,再分配,分组中的均匀分组现象,除法处理. 6.相同元素的排列问题,组合法处理.,三、古典概型、几何概型 1.古典概型的概率公式 【说明】求事件包含的基本事件数常用到计数原理与排列、组合的相关知识. 2.几何概型的概率公式,

9、四、独立事件和二项分布、正态分布 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为 (2)条件概率具有的性质: 0P(B|A)1; 如果B和C是互斥的两个事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).,2.相互独立事件 (1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互独立事件. (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. 3.二项分布 (1)独立重复试验是指在

10、相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验. (2)一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生k次的概率为 pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为XB(n,p).,(2)正态曲线的性质: 曲线位于x轴上方,与x轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线x=对称; 曲线与x轴之间的面积为1; 当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移; 当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.,5.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 (2)

11、正态分布的三个常用数据 P(-X+)0.682 6; P(-2X+2)0.954 4; P(-3X+3)0.997 4.,五、分布列、均值、方差 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值:称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为实数). (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为实数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)若XB(n,p),则

12、E(X)=np,D(X)=np(1-p).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,计数原理 例1(1)(2018广东惠州第一次调研)从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数,其中偶数的个数是 () A.6B.8C.10D.12 (2)(2018安徽合肥质量检测)某社区新建了一个休闲小公园,几条小径将公园分成5块区域,如图.社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域,要求每个区域种植一种颜色的花卉,且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同,则不同种植方法的种数共有() A.96B.114 C.168D.240,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(3)(201

13、8广东广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有() A.36种B.24种C.22种D.20种,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解析:(1)由题意,该两位数是偶数时,其个位可能是0,2,4.个位是0时,偶数有4个;个位是2时,偶数有3个;个位是4时,偶数有3个.所以偶数共有4+3+3=10(个).故选C. (2)先在a中种植,有4种不同方法,再在b中种植,有3种不同方法,再在c中种植,若c与b同色,则d有3种不同方法,若c与b不同色,c有2种不

14、同方法,d有2种不同方法,再在e中种植,有2种不同方法,所以共有43132+43222=168(种),故选C. (3)根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有 =12种推荐方法;第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有 =12种推荐方法.故共有24种推荐方法,故选B. 答案:(1)C(2)C(3)B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练1 (1)(2018甘肃兰州模拟)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红

15、包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有() A.18种B.24种C.36种D.48种 (2)(2018辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知:食物投掷地点有远、近两处;由于Grace年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩被均分成两组,一组去远处,一组去近处.那么不同的搜寻方案有() A.10种B.40种C.70种D.80种,考点1,考点2,考点3,考点4,考

16、点5,(3)(2018河南洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员,现有3名同学,每人只选报1个社团,恰有2个社团没有同学选报的报法有种(用数字作答).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,答案:(1)C(2)B(3)36,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,答案:(1)B(2)A(3)D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练2 (1)(2018安徽合肥模拟)(x-2)3(2x+1)2展开式中x奇次项的系数之和为. (2)(2018江西南昌模拟)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0,则正实数a=. (3)(2018湖北部分重点中学模拟)设(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+a10 x10,则a1等于.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,古典概型与几何概型 例3(2018全国,理8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可