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1、一、德布罗意波,德布罗意假设: 实物粒子具有波粒二象性,描述波动性的物理量:,描述粒子性的物理量:,基本关系式为:,二、概率波 基本假设之一,1926年玻恩提出波函数的概率诠释: 我们用波,函数,来描述德布洛意波，则,正比于,粒子在该处出现的概率。,德布洛意波-概率波,波函数,-概率幅,量子力学基本假设之一,微观粒子体系的状态，完全由波函数,来描写，波函数,也称为概率幅。t 时刻，在,范围内找到粒子的概率正比于,三、决定性和统计性,力学量: 在经典力学中我们讨论的位置,、动,量,、能量E、角动量,等物理量。,经典力学-状态可以用力学量的值完全确定,下来-决定性的规律,量子力学-状态用某个力学量
2、取各种可能值,的概率，即它的概率分布来确定-统计性的规律,量子力学中，,代表了x 的概率分布，所以可,用来确定量子状态，因此又把称为态函数。,量子态叠加原理,如果,是体系的可能状态，它们的,线性叠加,也是体系,的一个可能状态。其中,是复常数。,-量子态叠加原理,用电子的双缝干涉实验说明量子态叠加原理,只打开第一个缝，屏上的衍射条纹分布:,只打开第二个缝，屏上的衍射条纹分布:,同时打开，对于经典的粒子:,对于具有波动性的微观粒子:,概率幅的性质,1. 概率密度,若三维空间的概率幅为,子在VV +dV空间出现概率为:,，则粒,有限大体积V 中粒子出现的概率为:,因而,称为概率密度。,概率幅应单值、
3、有限和连续,-标准条件,2. 归一化,粒子在全空间V中出现的概率应为1，则:,-归一化条件,若概率幅没有归一化，即:,则:,所以:,-归一化常数,例题: 若一个电子的概率幅为,求归一化常数A的值。,解: 若A是归一化常数，则在全空间粒子出现,概率为1，则:,1927年海森堡进一步提出 测不准关系 （或者称为不确定关系） x P t E 式中，h 为普朗克常数。,不确定性关系简介,用电子衍射说明不确定关系,电子经过缝时的位置,不确定:,一级暗纹衍射角为:,电子经过缝后，x 方向动量不确定:,考虑所有衍射次级有:,量子力学精确计算:,-不确定性关系,粒子的位置和动量 不能同时确定。位置越 精确,
4、即x 越小，将使 得动量越不确定，即 P 越大。相反，粒子的 动量越确定，即P 越 小，则x 越大，即位置 越不确定。,由于测不准关系的存在，电子 的位置和动量（速度）不可能同时 精确确定，因此电子没有轨道，玻 尔的轨道模型应该修改。能量量子 化对应的不是电子轨道，那么对应 的是什么呢？研究表明，原子核外 的电子虽然没有轨道，但也有一定 的分布规律，它们以几率波的形式 分布在核外空间，呈现为“电子云”。,电子云,能量量子化的不同“能级”，对应的不是“轨 道”，而是不同的“电子云”状态。“能量量子化”是从 量子力学自然导出的结论，而不像“轨道量子化”那样， 是玻尔强加在经典力学上 的一个不自然的
5、限制。正 如量子力学可以看作玻尔 模型的发展一样，“能量 量子化”也可以看作“轨 道量子化”的发展。,同年，玻尔更进一步提出互补原理，认为“观测” 将不可避免地干扰“观测对象”。经典的决定论的因果律 在量子系统中不再成立，我们只能了解粒子出现的概率， 不能确定某个粒子是否一定出现。玻尔把玻恩、海森堡的 观点提高到哲学的高度，这就是量子 力学的统计解释或几率解释。,电子的双缝干涉实验,哥本哈根学派对量子 力学的上述解释，遭到 爱因斯坦、德布罗意、薛 定谔等人猛烈的攻击。他 们无论如何也不相信，人 们只能知道粒子出现的几 率，而不可能知道粒子是 否一定会出现。爱因斯坦 说了一句名言：“上帝是不掷骰
6、子的”。哥本哈根学派的人则反问：“谁告诉爱因斯坦，上帝不掷骰子？” 他们还嘲讽薛定谔，说：“看来薛定谔方程比薛定谔本人更聪明”。,对于量子力学物理解 释的争论，至今尚未结 束，似乎哥本哈根学派的 观点略占上风，但反对意 见依然存在，进入21世纪 之后，“多世界理论”、 “隐变量”、“退相干”、 “多历史”、“自发局域 化”等诸多流派仍在对哥 本哈根学派提出挑战。,哥廷根,量子力学的基本假设之二,微观低速(非相对论性)体系的波函数满足薛,定谔方程,一维薛定谔方程:,三维薛定谔方程:,引入拉普拉斯算符,则:,一维的自由粒子的波函数,平面简谐波的波函数为:,代入德布罗意关系式有:,进一步研究表明，要
7、物理上更为合理，应使,用复数形式:,薛定谔方程的建立,一维自由粒子波函数:,波函数对x求偏导，并乘,得:,再次运算:,将上式除以2 ，得:,粒子的质量,将波函数对 求导，并乘以 :,一维自由粒子势能为零，则:,则:,即得自由粒子的薛定谔方程,在经典力学中，粒子能量关系式为:,做替换:,作用在波函数上得薛定谔方程:,三维薛定谔方程:,一、定态问题,当薛定谔方程中U与时间无关只是坐标的函,数的情况称为定态问题。,分离变量法,代入薛定谔方程为:,等式两边同除,得:,整理得:,等式恒成立条件同等于一个常量,-,-,由式可得:,则粒子波函数为:,这个波函数与时间的关系是正弦式的， 其角频率是=/按照德布
8、罗意关系E=h=， E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。,eix=cosx+isinx,定态的含义:,1. 粒子的概率密度与时间无关；,2. 该状态下粒子具有确定的能量。,四、定态的性质 1、粒子在空间几率密度以及几率流密度与时间无关； 2、任何不显含t的力学量平均值与t 无关； 3、任何不显含t 的力学量的测值几率分布也不随时间变化。如果对于同一E值，存在几个线性无关的函数， 满足同一定态方程，这种情况称为简并， 其中线性无关函数的个数则称为对应能级的简并度。,定态薛定谔方程,一维:,三维:,用薛定谔方程研究氢原子，求得的氢原子能级是分 立的，可以很好地解释氢原子的光谱。用薛定谔方
9、程求解 线性谐振子的问题，得到线性谐振子的能级也是分立的。 这与经典粒子的能量连续是截然不同的物理图像，称为能 量的量子化，是微观世界普遍而重要的特征。,氢原子,二、势阱,1. 无限深方势阱及能量本征值,解: 定态问题，满足定态薛定谔方程，则:,粒子能量,令,，则:,通解:,波函数 连续，则:,由此可得:,所以:,归一化:,解得:,所以方程的解为:,粒子的能量:,无限深方势阱中粒子能量是量子化的，本征,值为:,对应的本征函数为:,式中n为能量量子数,能量的本征方程:,常用的物理概念,1. 量子化: 不连续取值的特征,2. 本征值: 物理量的可能取值,3. 本征函数: 与本征值对应波函数,4.
10、量子数: 标志物理量取不连续的数,5. 量子态: 可用量子数来代表的状态,6. 能级: 把能量,按其值顺序排列形成能级,能量最小的能级: 基态,其他能级: 激发态,设有两个不同的定态:,则由态叠加原理可知,薛定谔方程的解，也是粒子可能出现的一种状态，,也是,但一般不再是定态了。,随时间变化,2. 有限深方势阱,当,时，在势阱外有:,令,则:,通解:,和,时， 有限，则:,在势阱内，有:,由标准条件，波函数 在,处连续，可,以求出能量本征值是离散的。,当,时，在势阱内、外有:,势阱内:,势阱外:,所以在各个区域方程的解均为sin kx和cos kx,的形式，粒子可以在无限远处被发现，即: 在,时
11、，有限但不趋于零，这称为自由态或散,射态。,若粒子被限制在有限空间里，即: 当,时,的状态被称为束缚态，其能量本征值是,离散的。,一维谐振子问题,一、一维谐振子的定态薛定谔方程,在经典力学中，简谐振动的定义：,任何物理量 x 的变化规律若满足方程式,并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。,在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。,简谐振动物体受到的线性回复力,取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动系统的势能,简谐振动系统的总能量,简谐振动运动方程的解,一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模型。例如
12、研究分子的振动、晶格的振动、原子核表面的振动以及辐射场的振动，等等。,在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。,我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达为,粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！,一维谐振子的定态薛定谔方程,一维谐振子的能量本征值方程,为了简洁起见，引入三个无量纲参量：,求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。,二、一维谐振子的本征函数和能量本征值,一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振子的定态
13、波函数为：,由波函数的归一化条件所确定的常系数 Nn为：,式中 Hn( )称为厄米多项式，具体形式为,谐振子的势能为:,定态薛定谔方程为:,求解时得出能级为:, 一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的能量差是固定的；,能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！,能级间距 =, 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。,零点能是微观粒子波粒二象性的表现！, 一维谐振子的能量只能取一系列分立值；,经典物理学中的一维谐振子：,量子力学中的一维谐振子：,考虑一维谐振子的基态：,=,谐振子的特征长度,按照经典理论，,按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经典禁区中的概率为：,微观粒子的隧道效应,由图可以看出，量子数n较小时，粒子位置的概率密度分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。,
