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1、数学破题 36 个大招目 录高考数学常考问题-大闯关（36 关）错误！未定义书签。目 录1第 1 关： 极值点偏移问题-对数不等式法错误！未定义书签。第 2 关： 参数范围问题常见解题 6 法7第 3 关： 数列求和问题解题策略 8 法10第 4 关： 绝对值不等式解法问题7 大类型15第 5 关： 三角函数最值问题解题 9 法22第 6 关： 求轨迹方程问题6 大常用方法28第 7 关： 参数方程与极坐标问题“考点”面面看41第 8 关： 均值不等式问题拼凑 8 法48第 9 关： 不等式恒成立问题8 种解法探析54第 10 关： 圆锥曲线最值问题5 大方面60第 11 关： 排列组合应用问
2、题解题 21 法64第 12 关： 几何概型问题5 类重要题型71第 13 关： 直线中的对称问题4 类对称题型74第 14 关： 利用导数证明不等式问题4 大解题技巧76第 15 关： 函数中易混问题11 对82第 16 关： 三项展开式问题破解“四法”88第 17 关： 由递推关系求数列通项问题“不动点”法89第 18 关： 类比推理问题高考命题新亮点93第 19 关： 函数定义域问题知识大盘点99第 20 关： 求函数值域问题7 类题型 16 种方法107第 21 关： 求函数解析式问题7 种求法130第 22 关：解答立体几何问题5 大数学思想方法134第 23 关： 数列通项公式常见
3、 9 种求法140第 24 关：导数应用问题9 种错解剖析152第 25 关：三角函数与平面向量综合问题6 种类型155第 26 关：概率题错解分类剖析7 大类型162第 27 关：抽象函数问题分类解析165第 28 关：三次函数专题全解全析169第 29 关：二次函数在闭区间上的最值问题大盘点181第 30 关：解析几何与向量综合问题知识点大扫描192第 31 关：平面向量与三角形四心知识的交汇193第 32 关：数学解题的“灵魂变奏曲”转化思想197第 33 关：函数零点问题求解策略209第 34 关：求离心率取值范围常见 6 法214第 35 关：高考数学选择题解题策略217第 36 关
4、：高考数学填空题解题策略228以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目 1：（2015 长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A.B.C.D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，A 正确. 有两个零点：，即：-得：根据对数平均值不等式：，而，B 正确，C 错误而+得：，即 D 成立.题目 2：（2011 辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，-得：，化简得：而根据对数平均值不等式：等式代换到上
5、述不等式根据：（由得出）式变为：，在函数单减区间中，即：题目 3：(2010 天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，两边取对数-得：根据对数平均值不等式题目 4：（2014 江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：-得：，即：根据对数平均值不等式：，+得：根据均值不等式：函数在单调递减由题于与交于不同两点，易得出则上式简化为:第 2 关： 参数范围问题常见解题 6 法求解参数的取值范围是一类常见题型近年来在各地的模拟试题以及高
6、考试题中更是屡屡出现学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量例 1.对于满足 0的一切实数，不等式 x2+px4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范围分析：习惯上把 x 当作自变量，记函数 y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p时 y0 恒成立，求 x 的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的若把 x 与 p 两个量互换一下角色，即 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于 p 的一次函数大于
7、 0 恒成立的问题解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当 x=1 时显然不满足题意由题设知当 0时 f(p)0 恒成立，f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10，解得 x3 或 x3 或 x g(k)g(k) f(x) minf(x)g(k)f(x) maxg(k)f(x)g(k)f(x) max g(k) 三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的例 3设，若不等式恒成立，求 a 的取值范围分析与解：若设函数，则， 其图象为上半圆设函数，其图象为直线 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要
8、使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即 a 的取值范围为四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。例 4当时，不等式恒成立，求 a 的取值范围得解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而解（2）当时，由题设知恒成立，即，而解得a 的取值范围是五、利用判别式当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解例 5不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.解：在 R 上恒成立，R故实数的取值范围是，解得.一般地二次函数 f(x)=ax2+bx+c 恒正，f(x
9、)=ax2+bx+c 恒负.六、构造函数构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的例 6已知不等式对于一切大于 1 的自然数 都成立，求实数的取值范围分析：注意到不等式仅仅左边是与 有关的式子，从函数的观点看，左边是关于 的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手解：设,N是关于N的递增函数，则=.要使不等式成立，只须，解之得.实数的取值范围是以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理第 3 关： 数列求和问题解题策略 8 法数列是高中代数
10、的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。 1、公式法求和若所给数列的通项是关于 n 的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列举如下：等差数列求和公式：，等比数列求和公式：自然数的方幂和： k3=13+23+33+n3= n2 (n+1)2， k=1+2+3+n= n(n+1)， k2=12+22+32+n2
11、= n(n+1)(2 n+ 1)例 1 已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。解：由题意，是首项为 ，公差为的等差数列前项和，2、错位相减法求和若数列的通项公式为，其中，中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在推导等比数列的前 n 项和公式时曾用到的方法。例 2 已知当时，求数列的前 n 项和；解：当时， 由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积，这时数列 的前 项和 式两边同乘以 ，得式减去式，得若，若，3、反序
12、相加法求和将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个，Sn 表示从第一项依次到第 n项的和，然后又将 Sn 表示成第 n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到 Sn 的一种求和方法。也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前 n 项和公式时曾用到的方法.例 3 设， 利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前项 和 的 公 式 的 方 法 ， 可 求 得的值为： 解：因为 f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.设 S=f（5）+f（4）+f（6），则 S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）
