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1、第四章 随机变量的数字特征、极限定理,数学期望 方差 协方差和相关系数 大数定律与中心极限定理,4.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望,例4.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下：,甲,乙,试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？,甲平均射中的环数为：,乙平均射中的环数为：,(830+910+1060)100=80.3+90.1+100.6=9.3(环),(820+950+1030)100=80.2+90.5+100.3=9.1(环),因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。,在例4.1中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是
2、事件(X=k)在100次试验中发生的频率(X为命中的环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件(X=k)在一次试验中发生的概率pk。上述平均环数的计算可表示为,我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。,数学期望描述随机变量取值的平均特征,定义4.1 设X是离散型随机变量，其分布律为 XP(X=xi)=pi, i=1,2,n，,如果级数,绝对收敛，,并称级数,的和为随机变量X的数学期望，记作,则称X的数学期望存在，,E(X)，即,则称随机变量X的数学期望不存在。,注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数,绝对收敛。若级数,
3、不绝对收敛，,例如，设离散型随机变量X的分布律为,则X的数学期望为,例4.2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,解 X的分布律为,例4.4 设X取,(k=1,2,)对应的概率为,，证明E(X)不存在。,证明,且,但级数,发散,所以E(X)不存在，但级数,(交错级数满足Leibniz条件)(收敛),要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。,定义4.2 设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),二、连续型随机变量的数学期望,若积分,绝对收敛，则称X的数学期望存在，,且称积分,为随机变量X的数学期望，记为E(X),即,数学期望简称期望或均值。,例6：,几种重要分布的数学期望,三
4、、随机变量函数的数学期望,定理4.1 设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g()为连续函数),(1)设X为离散型随机变量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,若级数,绝对收敛，则Y的数学期望存在，且,(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，,若积分,绝对收敛，则Y的数学期望存在，且,此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。,推广：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(,)是连续函数。,(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,则当,绝对收敛时，Z的数
5、学期望存在，且,(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当,绝对收敛时，Z的数学期望存在，且,二维随机变量的数学期望,离散r.v.,连续r.v.,例4.7 设随机变量XB(n,p)，,求E(Y),解 XB(n,p)，分布律为,其中p+q=1,例4.8 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,设Z=XY，试求Z的数学期望。,解,O 1 x,y,1,y=x,1、设C是常数，则E(C)=C; 2、设C是常数，X为随机变量，则E(CX)=CE(X);,四.数学期望的性质,3、设X,Y为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);,推广： Xi为随机变量，Ci为常数，i=
6、1,2,n E(C1X1+ C2X2+ CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+ CnE(Xn),4、若X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。,推广： X1,X2,Xn相互独立，则 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn),反之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出它们独立。,例1：已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱中，求乙箱中次品件数的数学期望。,例2：已知 0，其它 求随机变量的数学期望E(X).,例3：设随机变量X的分布列为： 求：,例4：设随机变量X的密度函数：
7、 f(x)= 0, 其它 对随机变量X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于 的次数，求EY,例5：设（X,Y）分布列为： (1)求E(X),E(Y);(2)设Z=X/Y，求E(Z);(3)设 ，求E(Z),例6：设（X,Y）的密度函数： f(x,y)= 0 其它 求：E(X),E(Y),E(XY),4.2方差,一、方差的概念,例4.13 甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm) 甲9.89.910.010.010.110.
8、2 乙9.09.29.410.610.811.0 易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。,为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对离差，用E|X-EX|记，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值的均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。,定义 设X是随机变量，若EX-EX2存在，则称EX-EX2为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(
9、X)，即 D(X)=EX-EX2 在应用上，常用与随机变量X具有相同量纲的量，,称为随机变量X的均方差或标准差。,方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。,由方差的定义可知，D(X)0。 当X为离散型随机变量，且分布律为P(X=xk)=pk时，则,当X为连续型随机变量时，且密度函数为f(x)，则,在实际计算中，通常使用如下公式,即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方”。,例4.14 已知随机变量X的分布律如下，求D(X)。,解 数学期望E(X)=7/8，,例4.15 设随机变量,求D(X),解,二、方差的性质,1、设C是常数，则D(C)=0，且D(X+C)=D(X); 2、
10、设C是常数，X为随机变量，则D(CX)=C2D(X);,3、设X,Y为任意两个随机变量，则有,特别地，当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y) 所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 推论：若随机变量X1, X2,Xn相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn) 又X,Y相互独立， C1，C2为常数，则 D(C1X+C2Y)= C12 D(X)+C22D(Y) 特别注意： D(X-Y)=D(X)+D(Y) (当X,Y独立),4、D(X)=0的充分必要条件是X以概率1为常数，即 P(X=C)=1,4.3几个重要分布的数学期望和方差,一、01分布 XB(1,p)
11、， P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q E(X)=1p+0(1-p)=p， E(X2)=12p+02(1-p)=p D(X)= E(X2)-(E(X)2=p-p2=pq=p(1-p),二、二项分布XB(n,p),分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n,其中,随机变量函数的数学期望,在计算时，若将X表示成若干个相互独立的01分布变量之和，计算就极为简便。,在n重Bernoulli试验中，A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。设,则A发生的次数,XB(n,p),三、Poisson分布,XP()，,五、均匀分布,XUa, b,六、正态分布,N(,2
12、)中两个参数和2 ，分别是正态分布的数学期望和方差。,七、指数分布,某些常用分布的数学期望及方差,（1）若,则,（2）若,则,（3）若,则,（4）若,则,（5）若,则,（6）若,则,课 堂 练 习,3. X,Y独立，D(X)=6，D(Y)=3，则D(2X-Y)=（ ）。,4.3 协方差，相关系数,定义 设(X,Y)是二维随机变量，如果 EXE(X)YE(Y) 存在, 则称它是X与Y的协方差，记为cov(X,Y) 即 cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y)。 当D(X)0,D(Y)0时称,一、概念,为X与Y的相关系数，或称X与Y的标准协方差。 XY是一个无量纲的量。,当X与Y是离散型随机变量
13、时，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij,当X与Y是连续型随机变量时，密度函数f(x,y),由协方差定义可得，对任意的随机变量X、Y，有 cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y)= E(XY)E(X)E(Y) 协方差的一个计算公式。 又有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y),二、协方差的性质,(1) cov(X,Y)=cov(Y,X); (2) cov(X,X)=D(X)，cov(X,C)=0； (3) cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，其中a,b为常数； (4) cov(X+Y, Z)=cov(X, Z)+
14、cov(Y, Z)； (5)X, Y相互独立， cov(X,Y)=0,称,为X的标准化变量，即“随机变量与期望之差除以均方差”,若记,则E(X*)=0， D(X*)=1,三、相关系数的性质,1、|XY|1，即“相关系数的绝对值小于等于1”。 证明,方差的非负性,|XY|1,2、 |XY|=1的充分必要条件是X与Y以概率1存在线性关系，即 P(Y=aX+b)=1，a0，a,b为常数。,证明（充分性）(p108) 设Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X) Cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y) = EXE(X)aX+baE(X)b =aEXE(X)2= aD(X),即
15、 |XY|=1,（必要性）设XY=1，则,性质1,方差性质,其中,即X与Y以概率1存在线性关系，此时称X，Y正相关。,当XY=-1时,其中,即X与Y以概率1存在线性关系，此时称X，Y负相关。,定义 若XY=0，则称X与Y不相关。 3、若X与Y相互独立，则必有X与Y不相关。 证明 X与Y相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y) cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0 所以 XY=0 即X与Y不相关。 注意：X与Y不相关， X与Y未必相互独立。 所谓不相关只是就线性关系而言，而相互独立是就一般关系而言的。,二维正态随机变量(X,Y) ， X与Y独立,例4.18 设二维随机变量,则可求得协
16、方差cov(X,Y)=1 2 且相关系数XY = 二维正态变量(X,Y)，X与Y相互独立的充分必要条件是=0(P78 例7)； 而XY =0表示X与Y不相关， 可见， X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,X与Y不相关,等价于,矩、协方差矩阵,1、若E(Xk)存在，则称Ak=E(Xk)为随机变量X的k阶原点矩，简称k阶矩(k=1,2,)，而E(|X|k)称为X的k阶绝对原点矩； 2、若EX-E(X)k存在，则称Bk=EX-E(X)k为随机变量X的k阶中心矩(k=1,2,)，而E|X-E(X)|k称为X的k阶绝对中心矩； 3、若E(XkYl)存在，则称E(XkYl)为随机变量X、Y的k+l阶混合原点矩(k,l=1,2,)； 4、若EXE(X)kYE(Y)l存在，则称EXE(X)kYE(Y)l维随机变量的k+l阶混合中心矩(k,l=1,
