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1、第4章 光在各向异性介质中的传播,4.1 晶体的光学各向异性 4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.3 平面光波在晶体表面上的反射与折射 4.4 晶体光学元器件,4.1 晶体的光学各向异性,4.1.1 张量的基础知识 4.1.2 晶体的介电张量,4.1.1 张量的基础知识,1. 张量的概念 2. 张量的变换 3. 对称张量,1. 张量的概念,（1）把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关 联起来，等式的关联因子就是张量。 （2）把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来， 其中的关联因子就是张量。 （3）把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关 联起来，其中的关联因子就是张量。 （4）
2、把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来， 其中的关联因子就是张量。,张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个 其它矢量（或者张量）相关联的物理量，张量又称为并矢。,式中， 是关联 和 的二阶张量。,例如，矢量 与矢量 有关，则其一般关系应为：,二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。,在直角坐标系 O - x1x2x3 中， 可表示为矩阵形式 ：,分量形式：,一般形式：,按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，上式简化为 pi =Tij qj i,j =1, 2, 3,可以看出：如果 是张量，则 矢量的某坐标分量不仅与 矢量同一坐标分量
3、有关，还与其另外两个分量有关。,为三阶张量，包含 27 个张量元素，其矩阵形式为：,如果矢量 与两个矢量 和 相关，其一般关系式为：,标量可看作是零阶张量；矢量可看作是一阶张量。 标记方法： 标量无下标； 矢量有一个下标； 二阶张量有两个下标； 三阶张量有三个下标。 因此，下标的数目等于张量的阶数。,2. 张量的变换,由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量表示式也将发生变化。,若在原坐标系中，某张量表示式为Tij，在新坐标系中，该张量表示式为Tij ，则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系O-x1x2x3 的坐标变换矩阵为aij时，Tij 与 Tij的关系为,其分量表示形式为:
4、,i, j, k, l=1, 2, 3,张量变换定律。,逆变换:,i, j, k, l=1, 2, 3,i, j =1, 2, 3,如果是矢量，则新坐标系矢量表示式 A 与原坐标系表示式 A 间的矩阵变换关系:,其分量变换公式:,3. 对称张量,一个二阶张量Tij，如果有Tij=Tji，则称为对称张量，只有六个独立分量。,与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可对角化。,可表示为:,例如一对称张量:,经主轴变换,张量与矩阵的区别：张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理
5、量本身并不变化；而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。,4.1.2 晶体的介电张量, = 0r 是标量， 与 的方向相同，即 的每个分量只与 的相应分量线性相关。,介电常数 是表征介质电学特性的参量。,在各向同性介质中，电位移矢量 与电场矢量 满足关系：,i, j =1, 2, 3,介电常数 是二阶张量。其分量形式为：,即 的每个分量均与 的各个分量线性相关。在一般情况下， 与 的方向不同。,对于各向异性介质 ( 如晶体 ) :,在主轴坐标系，电位移矢量的分量形式：,晶体的介电张量 是对称张量，有六个独立分量。 经主轴变换后为对角张量，只有三个非零对
6、角分量：,1, 2, 3 称为主介电系数。,由麦克斯韦关系式：,可相应定义三个主折射率 n1, n2 , n3。,此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系： 立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。,七大晶系的光学性质简介,由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同。,由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数123 ，这几类晶体在光学上称为双轴晶体；,三方、四方、六方晶系中，主介电系数1=23 ，这几类晶体在光学上称为单轴晶体；,立方晶系在光学上是各向同性的， 1
7、=2=3 。,4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播,4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述 4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述,4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述,麦克斯韦方程组 2. 光波在晶体中传播特性的一般描述 3. 光在几类特殊晶体中的传播规律,1. 麦克斯韦方程组,根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性由麦克斯韦方程组描述。 在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若 没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：,为简单起见，只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。 这样处理，可不考虑介质的色散特性；同时，任意复杂光波可分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以也不失其普遍
8、性。,物质方程,2. 光波在晶体中传播特性的一般描述,(1) 单色平面光波在晶体中的传播特性 (2) 光波在晶体中传播特性的描述,（1）单色平面光波在晶体中的传播特性,A. 晶体中光电磁波的结构 B. 能量密度 C. 相速度和光线速度,A. 晶体中光电磁波的结构,是波法线方向的单位矢量,麦克斯韦方程组变为：,设晶体中传播的单色平面波为：,重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。,即 共面。一般情况下， 与 不在同一方向。,一般情况下， 和 不在同一方向。,间夹角与 间夹角相同。,B. 能量密度 根据电磁能量密度公式有：,对于各向同性介质：,C. 相速度和光线速度,关系：,光
9、线速度光波能量的传播速度,相速度光波等相位面的传播速度,结论： 在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离，其大小和方向均不相同。 在各向同性介质中，单色平面波的相速度即是其能量传播速度（光线速度）。,(2) 光波在晶体中传播特性的描述,A. 晶体光学的基本方程 B. 菲涅耳方程,A.晶体光学的基本方程,由矢量恒等式,因为：,E和D的定义,E,E,D,(sD)s,s,k,D,(kE)k,由折射率的定义 类似地定义“光线折射率”：,又：,给出了沿某一 方向传播的光波电场 与晶体特性 n(nr) 的关系，是描述晶体光学性质的基本方程。,B. 菲涅耳方程, 波法线菲涅耳方程 (波法线方程), 光
10、线菲涅耳方程(光线方程), 波法线菲涅耳方程（波法线方程）,（4.2-30）,选取主轴坐标系,描述了晶体中传播的光波法线方向 与相应折射率 n和晶体光学参量（主介电张量） 之间的关系。,（4.2-31）,即光波场沿 x1、x2 、x3 三个主轴方向的相速度。,定义,因为,描述了晶体中传播的光波法线方向 与相应相速度 vp和晶体光学参量（主速度） vp1 、v2 、v3 之间的关系。,由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率(或相速度) 随 方向变化。,波法线方程是 n2 或 的二次方程，一般有两个独立实根 n、n 或 ，因而对应每一个波法线方向 ，有两个具有不同的折射率或不同相速度的
11、光波。,波法线菲涅耳方程确定了波法线方向 上，特许的两个线偏振光（本征模式）的折射率（或相速度）和偏振态。,这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相速度)的特性就是晶体的光学各向异性。,确定与 相应的光波场 和 ：,（4.2-30）,对于每一个波法线方向 ，有：,可以证明：,与给定的 k 相应的 D、E 和 s,通常称这两个线偏振光为相应于给定 方向的两个可以传播的本征模式。,结论：,对于晶体中给定的波法线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，其 矢量相互垂直，因而振动面相互垂直，且有：, 光线菲涅耳方程(光线方程),由（4.2-27）得,（4.2-36）,（4.2-37）,结论：,在给定的晶体中，相应于每个光线方向 ，只允许有两个特定振动方向的线偏振光（两本征模）传播，其 矢量相互垂直，所以振动面相互垂直。一般情况下有：,光线菲涅耳方程确定了光线方向 上，两特许线偏振光的光线速度和偏振态。,作 业,2，3,
