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1、一、概率密度的定义与性质,二、常见连续型随机变量的分布,三、内容小结,第2.3节连续型随机变量 及其分布函数,性质,证明,一、概率密度的定义与性质,1.定义,1,证明,x,x,p,0,),(,同时得以下计算公式,注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,证明,由此可得,连续型随机变量的概率与区间的开闭无关,设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能 事件,则有,若 X 为离散型随机变量,注意,连 续 型,离 散 型,例1,故有,解,(1) 因为 X 是连续型随机变量,解,例2,二、常见连续型随机变量的分布,1. 均匀分布,分布函数,例3 设随机变量 X 在 2, 5 上
2、服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.,X 的概率密度函数为,设 A 表示“X 的观测值大于 3”,解,即 A= X 3 .,因而有,设Y 表示“3次独立观测中观测值大于3的次数”,则,2. 指数分布,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,分布函数,例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上, 求还能
3、使用1000小时以上的概率.,X 的分布函数为,解,指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,3. 正态分布(或高斯分布),正态分布概率密度函数的几何特征,正态分布的分布函数,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布下的概率计算,原函数不是 初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算,方法二:转化为标准正态分布查表计算,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,标准正态分布的图形,标准正态分布函数的性质：,解,例5,
4、证明,则当 时，其分布函数 可以用标准正态分布的分布函数 表示，,三、小结,2. 常见连续型随机变量的分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度; 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.,3. 正态分布是概率论中最重要的分布,另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极 限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布都是概率论中最重要的一种分布.,二项分布向正态分布的转换,解,例1,备份题,解,则有实根的概率为,例2,
