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1、 1 因式分解最全方法归纳 乐水散人整理于 2015.09 一、因式分解的概念与原则 1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分 解，也叫作分解因式。 2、原则： （1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）； （2）结果最后只留下小括号； （3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号； （4 ）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简； （5 ）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前； （6 ）相同因式的乘积写成幂的形式； （7 ）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。 3、因式分解的一般步骤 （1）如
2、果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解； （4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组 分解要相对合适。” 二、因式分解的方法 1、提取公因式 公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以 是单项式，也可以是多项式。 确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的， 要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指
3、数取次数最低的。 提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。 注意事项： （1）先确定公因式，一次把公因式全部提净； （2 ）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为 1不可丢掉； （3 ）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。 例1、分解因式： 6 a 2 b 9a b c+3 a b 解：原式= 3 a b ( 2 a -3 c+1) 例2、分解因式：12 x 3 y 2 +4 x 2 y 3 解：原式= 4 x 2 y 2 ( 3 x y ) 总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1把家守；提负要变号，变 形看奇偶。 2 2、
4、公式法 分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某 些多项式分解成因式。 平 方 差 a 2 b 2= ( a + b)( a b) 完全平方 ( a b) 2= a2+ b2 2a b ( a +b+c) 2= a2+ b2+2a b+2 b c+2 ca 立 方 差 a 3 b 3= ( a b)( a 2+ b2+ a b) 立 方 和 a 3+ b3= ( a + b)( a2+ b2 a b) 三项立方和 a 3+ b3+ c3 3a bc = ( a + b+ c )( a 2+ b2+ c2 a bbc a c ) 完全立方 ( a + b) =
5、 a + 3a b+3a b+ b ( a - b) = a + 3a b- 3a b- b 高次方和 a n b n = ( a b )a (n1)+a( n 2 )b + +b ( n 2 )a +b( n 1) 高次方差 a m +b m = ( a +b )a ( m 1)-a( m 2 )b + -b ( m 2 )a +b( m 1) ( m为奇数) 部分公式的推导： a 2 b 2 = a 2 +a b a b b 2 = ( a 2 +a b ) ( a b +b 2 )= a ( a +b ) b ( a +b )= ( a +b )( a b ) a 3 + b 3 = a
6、 3 + a 2 b- a 2 b+ b 3 = a 2 ( a + b)- b( a 2 - b 2 )= a 2 ( a + b)- b( a + b)( a - b) = ( a + b) a 2 - b( a - b) = ( a + b)( a 2 - a b+ b 2 ) a 3 - b 3 = a 3 - a 2 b+ a 2 b- b 3 = a 2 ( a - b)+ b( a 2 - b 2 )= a 2 ( a - b)+ b( a + b)( a - b) = ( a - b) a 2 + b( a + b) = ( a - b)( a 2 + a b+ b 2 ) 例
7、3 、分解因式：x 6 -6 4 y 6 解一：原式= ( x 3 ) 2 ( 8 y 3 ) 2 = ( x 3 +8 y 3 )( x 3 8 y 3 ) = ( x +2 y )( x 2 2 x y +4 y 2 )( x 2 y )( x 2 +2 x y +4 y 2 ) 解二：x 6 -6 4 y 6 = ( x 2 ) 3 ( 4 y 2 ) 3 = ( x 2 4 y 2 )( x 4 +8 x 2 y 2 +16 y 4 4 x 2 y 2 ) = ( x +2 y )( x 2 y )( x 2 +4 y 2 ) 2 ( 2 x y ) 2 = ( x +2 y )( x
8、 2 y )( x 2 +2 x y +4 y 2 )( x 2 2 x y +4 y 2 ) 注意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。 3 、分组分解法 多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运 用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能 够提取公因式或利用公式。 例4 、分解因式： a m +a n bm bn 解：原式= ( a m + a n )( bm +bn )= a ( m + n ) b( m + n ) = ( a b) ( m + n ) 3 例5 、分解因式：a 2
9、 +b 2 c22 a b 解：原式= ( a 2 2 a b +b 2 )c2= ( a b ) 2 c2= ( a b +c)( a b c) 4 、十字相乘法 （1）形如a x 2 +b x +c 的二次三项式，如果有 m n = a ，p q= c，且 m q+n p = b , 则可把该式分 解为 a x 2 +b x +c= ( m x +p )( n x +q)。 注意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式 ax2+bx+c，都要求判别式 =b 2 4ac 0 ，能 在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。 例6 、分解因式：3 x 2 11x +10 解：原式= ( 3 1)
10、x 2 +1 ( -5 )+3 ( -2 ) x +( 2 ) ( 5 ) = ( x -2 )( 3 x -5 ) 例7 、分解因式：6 x 2 y 2 x y 15 解：原式= 2 3 x 2 y 2 +2 ( 5 )+3 3 x y +3 ( 5 ) = ( 2 x y +3 )( 3 x y -5 ) 例8 、已知 k为正整数，2 x 2 +3 x +k能够在整数范围内分解因式，求 k值。 解： = 3 2 4 2 k = 98 k 0 ，k 9 8 ，且为正整数 k = 1 例9、（2 0 0 4 杭州）要是二次三项式 x 2 5 x +p 在整数范围内能进行因式分解，那么整 数 p
11、 的取值可以有（ ）。 A 、2 个 B 、4 个 C 、6 个 D 、无数个 解： = （5 ） 2 4 p = 2 5 4 p 0 ，即 p 2 5 4 只要 p 能分解为和为 5 的两个数，这样的数有无数组，故选 D （2 ）二次项系数为 1时，是相对上面标准二次三项式的简化。 x 2 +( p +q)x +p q= ( x +p )( x +q) 例10 、分解因式：x 2 5 x +6 解：原式= x 2 +( 2 )+( 3 ) x +( 2 ) ( 3 ) = ( x 2 )( x 3 ) 例11、分解因式：x 2 2 x 3 5 解：原式= x 2 +5 +( 7 ) x +5
12、 ( 7 ) = ( x +5 )( x 7 ) 4 （3 ）对于齐次多项式 a x 2 +b x y +cy 2 ，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另 一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行分解。 例12 、分解因式：15 x 2 +7 x y -4 y 2 解：原式= ( 5 x +4 y )( 3 x y ) 例13 、分解因式：x 2 6 x y +8 y 2 解：原式= ( x 4 y )( x 2 y ) （4 ）对于高次多项式形如a x 2 n +b x n +c 或 a x 2 n +b x n y m +cy 2 m 的，参照上面方法进行，分解 后的多项式由
13、于次数较高，如果有能继续分解的要继续分解，直至分解彻底。 例14 、分解因式：2 s 4 5 s 2 +3 解：原式= ( s 2 1)( 2 s 2 3 )= ( s +1)( s 1)( 2 s 2 3 ) 例15 、分解因式：12 m 4 19m 2 n 2 18 n 4 解：原式= ( 4 m 2 9n 2 )( 3 m 2 +2 )= ( 2 m +3 )( 2 m 3 )( 3 m 2 +2 ) 5 、拆项法（包含添项法） 把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其 和为 0 的两项或多项（也称添项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法
14、进 行分解。 注意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一 步错，后面步步错。 例16 、分解因式：x 3 3 x 2 +4 解一：原式= x 3 +13 x 2 +3 = ( x +1)( x 2 x +1)3 ( x +1)( x 1) = ( x +1)( x 2 x +13 x +3 )= ( x +1)( x 2 4 x +4 )= ( x +1)( x 2 ) 2 解二：原式= ( x 3 3 x 2 4 x )+4 x +4 = x ( x 2 -3 x 4 )+4 ( x +1) = x ( x +1)( x 4 )+4 ( x +1)= ( x
15、 +1)( x 2 4 x +4 )= ( x +1)( x 2 ) 2 例17 、分解因式：b c( b +c)+ca ( c a ) a b ( a +b ) 解：原式= b c( c-a +a +b )+ca ( c a ) a b ( a +b ) = b c( c a )+ca ( c a )+b c( a +b ) a b ( a +b ) = c( c a )( b +a )+b ( a +b )( c a ) = ( c+b )( c a )( a +b ) 例18 、分解因式：x 9+x6 +x 3 3 解：原式= x 91+x6 1+x 3 1 = ( x 3 1)( x 6 +x 3 +1)+( x 3 1)( x 3 +1)+( x 3 1) = ( x 3 1)( x 6 +x 3 +1+x 3 +1+1)= ( x -1)( x 2 +x +1)( x 6 +2 x 3 +3 ) 5 6 、配方法 有些多项式可以使用拆项法将其配成一个完全平方式，然后剩余部分再利用平方差公 式，就能
