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1、编号编号 学学士士学学位位论论文文 交比的性质交比的性质 学生姓名： 吴丽娟 学 号： 20080102046 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 08-2 班 指导教师： 王卫东 完成日期： 2012 年 3 月 4 日 中文摘要 交比是射影几何学中唯一基本的不变量,是射影几何的一个至关重要的概念 和工具。在高等几何教学中抓住交比这个基本不变量，可以加深对射影几何的 理解，下面就从交比的概念、性质，来讨论交比在射影几何中的应用。本文先 给出关于交比的各种概念,再叙述其性质,后得出了利用交比求二次曲线，用交 比表示射影坐标，用交比定义射影变换，用交比确定射影平面上点的位置，用
2、 交比来证明三直线共点或三点共线，用调和比解决仿射几何中线段中点问题和 度量几何中角的平分线问题的方法。 关键词：交比 射影几何 二次曲线 射影变换 The nature of the cross-ratio Abstract The cross ratio is projective geometry, only the basic invariants, is an essential concepts and tools of projective geometry. Seize to pay the basic variables in the Teaching of Higher G
3、eometry can deepen the understanding of projective geometry, following on from the concept of cross ratio, nature, to discuss the cross ratio in projective geometry. The paper first gives a variety of concepts on the cross-ratio, and then describes its nature, obtained using the cross-ratio quadrati
4、c curve, the projective coordinates, the cross-ratio cross ratio defined projective transformation, using the cross-ratio to determine the projective plane location of the point to prove, with the cross- ratio three straight collinear with harmonic than the midpoint of line segment in the affine geo
5、metry and metric geometry, angle bisector. Key words: cross-ratio; projective geometry; quadratic curve; projective transformation 目录 中文摘要中文摘要 .1 ABSTRACT.2 引言引言 .2 1.1. 交比交比 .3 1.1 点列中四点的交比.3 1.2 线束中四条直线的交比.6 1.3 点列中四点的交比和线束中四条直线的交比的关系.9 关系 1.3.1.9 关系 1.3.2.10 2.2. 交比在几何中的一些应用交比在几何中的一些应用 .12 2.1 用交
6、比定义射影坐标.12 2.2 用交比定义射影变换.14 2.3 用交比定义二次曲线.15 2.4 用交比确定射影平面上点的位置.17 2.5 用交比来证明三直线共点或三点共线.19 2.6用调和比解决仿射几何中线段中点问题和度量几何中角的平分线问题.20 参考文献参考文献 .24 致谢致谢 .25 引言 众所周知交比是射影变换的基本不变量,一般是用共线的四个点来定义的， 亦称之为非调和比。早在古希腊，数学家和天文学家就注意到这一比值的特性。 约公元 100 年，门内劳斯在球面学中用到了球面上的大圆弧相交的一个性 质，类似于截线的交比不变性，用圆弧所对角的正弦比值来表示。公元 4 世纪， 帕波斯
7、在数学汇编中明确阐述了一种交比的性质：设有四条线交于一点， 则从一条线上的一点出发的截线所截点之间的交比相等。到 19 世纪，施泰纳、 施陶特等数学家已将交比作为他们的射影几何理论的基本工具，证明了四个共 线点的交比在射影变换下不变的特性。而交比这一概念及其性质在几何中也常 被应用,因此接下来就需要先从交比的定义着手,然后叙述其性质,通过这些基本 概念研究其在几何中的运用.交比是射影变换的基本不变量，连同射影变换的基 本不变性同素性、结合性可以导出射影几何学的一切内容。而交比的定义、 性质很容易为初等几何学研究者所接受，因此利用交比研究初等几何学的有关 问题是一新的而且简捷的方法。下面介绍利用
8、交比研究初等几何有关问题的思 路。 1.1. 交比交比 1.11.1 点列中四点的交比点列中四点的交比 交比的概念是射影几何学的中心概念,我们定义好用圆上四个点的交 比,圆锥曲线上四个点的交比,圆锥曲线上四条切线的交比等等,我们也能 够研究射影几何了. 定义 1 共线四点 A,B,C,D 的交比定义为两个单比(ABC)与(ABD)的比,记为 (,)/ ACAD AB CD BCBD 其中 A,B 两点称为基点,C,D 两点称为分点. 根据交比的定义有 () (,) () AC ABCAC BD BC AB CD AD ABDBC AD BD 不相同的共线四点的交比与点的排列顺序有密切的关系.现
9、在来讨论改变 点的顺序时,交比所发生的变化. 定理 1 两基点与分点交换,交比的值不变.即 (,)(,)CD ABAB CD 定理 2 只有两基点交换或只有两分点交换,交比的值与原来的交比值互为倒数.即 1 (,)(,) (,) BA CDAB DC AB CD 定理 3 交换(AB,CD)中间两字母顺序或交换两端的两字母顺序所得的交比值 与原来的交比值和为常数 1，即 （AC，BD）=（BA，DC）=1-（AB，CD） 共线四点 A，B，C，D 可有 4！=24 种不同的排列。由定理 1.2.11.2.3 可得 24 个交比值只有 6 个不同的取值: (1)(AB,CD)=(BA,DC)=(
10、CD,AB)=(DC,BA)=m (2)(AB,CD)=(BA,CD)=(CD,BA)=(DC,AB)=1/m (3)(AC,BD)=(BD,AC)=(CA,DB)=(DB,CA)=1-m (4)(AC,DB)=(BD,CA)=(CA,BD)=(DB,AC)=1/(1-m) (5)(AD,BC)=(BC,AD)=(CB,DA)=(DA,CB)=(m-1)/m (6)(AD,CB)=(BC,DA)=(CB,AD)=(DA,BC)=m/(m-1) 由交比定义及性质可知，若已知四个不同的共线点中的三点及其交比值， 只第四点唯一确定。 我们知道，共线的三点的单比可以由三点的坐标表示，共线的四点的 交比也可由坐标来表示。 定理 4 一直线
