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1、第八节 等腰三角形中考考点分析在教材中的地位重点、难点等腰三角形是特殊的三角形之一，在考试中特殊三角形考查更常用辅助线的是重点，对等腰三角形常用辅助线的作法掌握的程度决定考试成绩的好坏。等腰三角形是在学生学习了三角形的有关知识、掌握了全等三角形的判定及性质与轴对称性质的基础上展开的。它不仅是对前面所学知识的综合应用，也是后面研究等边三角形等内容的预备知识，同时也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据。学生了解、感悟等腰三角形的性质定理和判定定理，归纳总结其证明方法.等腰三角形常用辅助线的作法.考点与实例分析讲点1等腰三角形的性质与判定【例1】 如图，在ABC,AC=BC,BAC=50
2、,延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE求D，E的度数. （2013，江汉区期中）题意分析：等腰三角形“等边对等角”，由此求角度。解答过程：解题后的思考：【练1.1】 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,ABC=ADC=70，则DAO+DCO的大小是（ ）A.70 B.110 C.140 D.150 （2012，武汉）【练1.2】 如图已知等腰ABC的周长为34cm，AD是底边上的高，ABD的周长为24cm，则AD的长为( ).A.12cm B.10cm C. 8cm D.7cm(2014,武昌区七校联考)【例2】 如图已知CE是ABC的角平分
3、线，D为BC上一点，AD交CE于F，若BAC=ADC=90，求证：AE=AF.题意分析 利用角平分线及垂直得到角相等，推出等腰三角形，对于等腰三角形的性质定理和判定定理，两者的条件和结论正好相反。解答过程：解题后的思考：【练1.3】在ABC中，AD平分BAC交BC于D，EF平行AD，交AC于E，交BA的延长线F，求证：AEF为等腰三角形.讲点2等腰三角形分类讨论问题【例3】 等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角等于50，设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中，有一个锐角为a，则a的度数为_。(2014,武昌区七校联考)题意分析 三角形形状不确定时，需要分类讨论.解答过程： 解题后的思考
4、：【练2.1】 （1）等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为 。（2）等腰三角形两边的长分别为4和9，则其周长为 。【练2.2】已知等腰三角形两边之差为7cm ，这两边之和 为17cm，求等腰三角形的周长。(2014,武昌区七校联考)讲点3等腰三角形中“三线合一”【例4】如图，ABC中，已知AB=AC，BD=DC，则ADB=_.（2013，江汉区期中）题意分析：在解决有关等腰三角形的问题时，一般可以坐三种辅助线：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线，从而可以运用“三线合一”。解答过程：解题后的思考：【练3.1】 如图，在ABC中， AB=AC，D为BC的中点，DE垂直AB，DF
5、垂直AC，垂足分别为E、F，求证DE=DF。（2014，江汉区期中）【练3.2】 如图，等腰三角形RtACB中，ACB=90，AC=BC，点O是AB的中点，点E是线段AC上的一动点，FO垂直EO，交CB于点F，求证：1. BF=CE；2. 若AC=4，求四边形CEOF的面积。【练3.3】 如图，在ABC中， AC= 2AB，AD平分BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB垂直AB.讲点4“两线合一”判等腰【例5】如图，已知AD平分BAC，且BD=DC，求证AB=AC.题意分析 只要三角形一边上的高、中线与这条边所对角的角平分线中有“两线合一”，就能判定该三角形为等腰三角形。解
6、答过程：解题后的思考：【练4.1】如图，已知在ABC中，ABC=2ACB,点H是BC中点，过点H作DH垂直BC于H且与BA延长线相交于点D.1. 图中存在连接两点的线段，其长度和DB相等，请画出线段并说明理由；2. 如图2，当B=45时，三条线段AB,AD,BC之间存在BC=AB+2AD,请给出证明.讲点5 等腰直角三角形中的全等【例6】如图，ABC中，AB=BC,AB垂直BC，B（0，2）C（2，-2），求点A的坐标。题意分析遇到等腰直角三角形时，常可过斜边的两端点向过直角顶点的直线作垂线，构成两个全等三角形。解答过程：解题后的思考：【练5.1】 如图，四边形ABCE中，AB=BC，AB垂直
7、BC，CE垂直AE，BD垂直AE于D，求证：BD-CE=AD。【练5.2】 在平面直角坐标系中，点A(2,0)B(0,4)以AB为斜边作一个等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为_. （2013，汉阳区期中） 考点与课堂练习1，如图，在ABC内一点D，且DA=DB=DC，若DAB=20，DAC=30，则BDC的度数为（ ）A100 B.80 C.70 D.50（2010，武汉中考）2，如图，在ABC中，BAC=100，点D,E在BC上，且BA=BE，CA=CD，则DAE等于（ ）A30 B.35 C.40 D.45(2014,武昌区七校联考)3、如图，是一个5乘5的正方形网格，网格中的每个小正方
8、形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上，点C也在小正方形的顶点上。若ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（ ）A6 B.7 C.8 D.9（2013，江岸区期中三校联考）4、ABC中，AB=BC,AB的垂直平分线与AC边所在的直线相交所得的锐角为50，则B的度数为_. 5、如图，顶角为锐角的等腰三角形ABC中，AB=BC，CD垂直AB于点D，O为RtACD的三条角平分线的交点，则AOB的度数为_. 6、如图，点D，E分别在BA，AC的延长线上，且AB=AC，AD=AE，求证：DE垂直BC7、如图，ABC中，AB=BC，ABC=90，点D在CB的延长线上，点E在AB上，且DB=EB,
9、求证：CE垂直AD；当ACE=30时，求DAC的度数。(2014,武昌区七校联考)8，如图，平面直角坐标系中，已知点，且为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰，使直线交轴于点。求证： AO=AB AOCABD(3) 当点运动时，点在轴上的位置是否发生改变，为什么？ (2014,武昌区七校联考)9、如图，ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,DE交BC于F，求证：DF=EF10、如图，在ABC中，AB=AC，点E在AC上，点D在AB的延长线上，连接DE交BC于F，过点E作EG垂直BC于G 若A=50，D=30，求GEF的度数；若BD=CE,求证：FG=BF+CG11、
10、如图，已知ABC中，BAC为直角，AB=AC,D为AC上一点，CE垂直BD于E. 若BD平分ABC，求证：CEBD； 当D在AC上运动时，AEB的度数是否会发生变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由.(2013，汉阳区期中)12、如图1，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，满足点，线段绕点顺时针旋转90至PD. 求证：OB=OC； 求点D的坐标；（用含m的式子表示）(3) 如图2，连接CD并延长交x轴于点E,求证：PDC=45+PBO13，如图1，以ABC的边AB,AC为边分别向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE,连接CD，BE，DE. 证明：ADCABE；试判断A
11、BC和ADE面积之间的关系，并说明理由；(3) 如图2，园林小路，曲径通幽，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地_平方米.（不写过程）14、如图，在等腰ABC中，AB=AC,顶角A=20，在边AB上取点D,使AD=BC,求BDC的度数。（“祖冲之杯”竞赛题）课后反馈1、如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，在BC上截取BD=BA,作ABC的平分线于AD相交于点P,连接PC,若ABC的面积为2，则BPC的面积为（ ）A.0.5 B.1 C. 1.5 D.2（2014，江岸区期末）
12、2，如图，ABC中，BO平分ABC, CO平分ACB,MN经过点O;且MN平行BC分别交AB,AC于M,N,若AB=12,AC=18,则图中的等腰三角形有_；三角形AMN的周长是_ .3、如图，下列三角形中，若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）。4、如图1，ABC中，AB=AC,BD垂直AC于D.(1)若A=40，则DBC= ；若A=50，则DBC= ；若A=a，则DBC= ； 如图2，猜想DBC于BAC之间的数量关系，并予以证明.5.如图1，已知ABC中，AB=AC=1,ABC=90，把一块含30角的直角三角形DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角板为DE,长直角板为DF）,将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明：DM=DN；在这一旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M, 延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.6、ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM=AC,求ABC的度数.
