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1、专题三：反比例函数与几何图形综合题研究【题型导引】题型一：反比例函数与三角形综合题 （1）反比例函数与三角形结合解决线段、周长、面积等问题；（2）反比例函数与几何图形结合相似或者角的问题；（3）反比例函数与三角形结合解决图形形状等问题。题型二：反比例函数与四边形综合题 （1）反比例函数与四边形结合解决线段、周长、面积等问题；（2）反比例函数与四边形结合解决点的坐标等问题；（3）反比例函数与四边形结合解决图形形状等问题。【典例解析】类型一：反比例函数与三角形的综合例题1：（2018大庆）如图，A（4，3）是反比例函数y在第一象限图象上一点，连接OA，过A作ABx轴，截取ABOA（B在A右侧），连
2、接OB，交反比例函数y的图象于点P（1）求反比例函数y的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求OAP的面积【解析】：（1）将点A（4，3）代入y，得：k12，则反比例函数解析式为y；（2）如图，过点A作ACx轴于点C，则OC4、AC3，OA5，ABx轴，且ABOA5，点B的坐标为（9，3）；（3）点B坐标为（9，3），OB所在直线解析式为yx，由可得点P坐标为（6，2），过点P作PDx轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），AE2、PE1、PD2，则OAP的面积（26）362215技法归纳：在解反比例函数问题时(一次函数、二次函数也是如此)，常会遇到利用点的坐标表示线段的长度、三角形的
3、面积等问题，选择函数图象上关键点，通过用待定量表示点的坐标，进而再表示长度、面积等；善于运用数形结合的思想方法，通过构图和图形的性质分析问题类型二：反比例函数与四边形的综合例题2：（2019广西河池12分）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E（1）如图（1），双曲线y过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C在y轴上求证CMNCBD，并求点C的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m0）个单位长度，使过点E的双曲线y与AD
4、交于点P当AEP为等腰三角形时，求m的值【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，DEEB，B（6，0），D（0，8），E（3，4），双曲线y过点E，k112反比例函数的解析式为y（2）如图2中，点M，N在反比例函数的图象上，DNADBMAB，BCAD，ABCD，DNBCBMCD，MNBD，CMNCBDB（6，0），D（0，8），直线BD的解析式为yx8，C，C关于BD对称，CCBD，C（6，8），直线CC的解析式为yx，C（0，）（3）如图3中，当APAE5时，P（m，5），E（m3，4），P，E在反比例函数图象上，5m4（m3），m12当EPAE时，点P与点D重合，P（m，8），E
5、（m3，4），P，E在反比例函数图象上，8m4（m3），m3综上所述，满足条件的m的值为3或12技法归纳：充分运用四边形的边与坐标轴的平行或垂直关系，借助于点的坐标，利用对称点的坐标，结合平行四边形的性质，表示相应的长度或图形的面积【变式训练】1. （2018柳州）如图，一次函数ymxb的图象与反比例函数y的图象交于A（3，1），B（，n）两点（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式【解答】解：（1）反比例函数y的图象经过A（3，1），k313，反比例函数的解析式为y；（2）把B（，n）代入反比例函数解析式，可得n3，解得n6，B（，6），把A（3，1），B（，6）代入
6、一次函数ymxb，可得，解得，一次函数的解析式为y2x52. （2018菏泽）如图，已知点D在反比例函数y的图象上，过点D作DBy轴，垂足为B（0，3），直线ykxb经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BDOC，OC：OA2：5（1）求反比例函数y和一次函数ykxb的表达式；（2）直接写出关于x的不等式kxb的解集【解析】：（1）BDOC，OC：OA2：5，点A（5，0），点B（0，3），OA5，OCBD2，OB3，又点C在y轴负半轴，点D在第二象限，点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（2，3）点D（2，3）在反比例函数y的图象上，a236，反比例函数的表达式为y将A（5，0）、B（0，2
7、）代入ykxb，解得：，一次函数的表达式为yx2（2）将yx2代入y，整理得： x22x60，（2）2460，一次函数图象与反比例函数图象无交点观察图形，可知：当x0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，不等式kxb的解集为x03. （2019，四川巴中，8分）如图，一次函数y1k1xb（k1.b为常数，k10）的图象与反比例函数y2（k20，x0）的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）求一次函数与反比例函数的解析式根据图象说明，当x为何值时，k1xb0【解答】解：把点B（4，2）代入反比例函数y2（k20，x0）得，k2428，反比例函数的解析式为y2，将点A（m，8）代入y2得，8，解得
8、m1，A（1，8），将A.B的坐标代入y1k1xb（k1.b为常数，k10）得，解得，一次函数的解析式为y12x10；由图象可知：当0x1或x4时，y1y2，即k1xb04. （2018白银）如图，一次函数yx4的图象与反比例函数y（k为常数且k0）的图象交于A（1，a），B两点，与x轴交于点C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且SACPSBOC，求点P的坐标【解析】：（1）把点A（1，a）代入yx4，得a3，A（1，3）把A（1，3）代入反比例函数yk3，反比例函数的表达式为y（2）联立两个函数的表达式得解得或点B的坐标为B（3，1）当yx40时，得x4点C（4，0）设点P
9、的坐标为（x，0）SACPSBOC解得x16，x22点P（6，0）或（2，0）5. （2019湖南湘西州8分）如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB4（1）求函数y和ykxb的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0kxb的解集【解答】解：（1）把点A（3，2）代入反比例函数y，可得m326，反比例函数解析式为y，OB4，B（0，4），把点A（3，2），B（0，4）代入一次函数ykxb，可得，解得，一次函数解析式为y2x4；（2）不等式组0kxb的解集为：x36. （2019四川省广安市6分）如图，已知A（n，2），B（1，
10、4）是一次函数ykxb和反比例函数y的图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积【解答】解：（1）A（n，2），B（1，4）是一次函数ykxb的图象与反比例函数y的图象的两个交点，4，得m4，y，2，得n2，点A（2，2），解得，一函数解析式为y2x2，即反比例函数解析式为y，一函数解析式为y2x2；（2）设直线与y轴的交点为C，当x0时，y2022，点C的坐标是（0，2），点A（2，2），点B（1，4），SAOBSAOCSBOC222137. （2018泰安）如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y的图象经过点E，与AB交
11、于点F（1）若点B坐标为（6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；（2）若AFAE2，求反比例函数的表达式【解答】解：（1）点B坐标为（6，0），AD3，AB8，E为CD的中点，点A（6，8），E（3，4），函数图象经过E点，m3412，设AE的解析式为ykxb，解得，一次函数的解析是为yx；（2）AD3，DE4，AE5，AFAE2，AF7，BF1，设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a3，1），E，F两点在函数y图象上，4aa3，解得a1，E（1，4），m144，y8. （2018河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y（x
12、1）交于点A，且AB1米运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t1时h5，M，A的水平距离是vt米（1）求k，并用t表示h；（2）设v5用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围【解答】（1）由题意，点A（1，18）带入y得：18k18设hat2
13、，把t1，h5代入a5h5t2（2）v5，AB1x5t1h5t2，OB18y5t218由x5t1则ty当y13时，13解得x6或4x1x6把x6代入yy3运动员在与正下方滑道的竖直距离是13310（米）（3）把y1.8代入y5t218得t2解得t1.8或1.8（负值舍去）x10甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y上此时，乙的坐标为（11.8v乙，1.8）由题意：11.8v乙（151.8）4.5v乙7.59. （2019山东泰安11分）已知一次函数ykxb的图象与反比例函数y的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OBAB，且SOAB（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点P的坐标【解答】解：（1）如图1，过点A作ADx轴于D，B（5，0），OB5，SOAB
