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1、复变函数部分习题解答分析 作业卷（一） 一 判断题 1.复数7 + 6i 1 + 3i. . 两个复数, 只有都是实数时, 才可比较大小. 2.若z 为纯虚数,则z 6= z. . 按书上定义, 纯虚数指yi, y 6= 0, 若z = yi, 则 z = yi. 3.函数w = arg(z)在z = 3处不连续. . 当z 从下方 3时, w = arg(z)的极限为; 当z 从上方 3时, w = arg(z)的极限为. 4.f(z) = u + iv 在z0= x0+ iy0点连续的充分必要条件是u(x,y), v(x,y)在(x0, y0)点连续. . Th1.4.3. 5.参数方程z
2、 = t2+ ti (t为实参数)所表示的曲线是抛物线y = x2. . x = y2. 二 填空题 1.若等式i(5 7i) = (x + i)(y i)成立,则x=,y =. 分析: 两复数相等的定义. x = 6,y = 1,或x = 1,y = 6. 2.方程Im(i z) = 3表示的曲线是. 分析: 由复数相等, Im(i z) = Imi (x iy) = Imx + (1 + y)i = 1 + y = 3, 故填y = 2. 3.方程z3+ 27 = 0的根为. 分析: z3= 27ei,z = 271/3(cos(+2k 3 ) + sin(+2k 3 ),k = 0,1,
3、2, z = 3, 3 2 3 2 3i. 4.复变函数w = z2 z+1 的实部u(x,y) =, 虚部v(x,y) =. 分析:将z = x + iy 代入, 分离实部、 虚部, 得u(x,y) = x2x+y22 (x+1)2+y2 , v(x,y) = 3y (x+1)2+y2. 5.设 z1= 2i,z2= 1 i, 则Arg(z1z2) =. 分析: arg(z1) = 2, arg(z2) = 4, Arg(z1z2) = 2 4 + 2k = 4 + 2k,(k = 0,1,2,) 6.复数z = 12 2i的三角表示式为,指数表示式为. 分析: 4cos(5 6) + is
4、in( 5 6), 4e i(5 6). 三 计算、 证明题 1.求出复数z = (1 + 3i)4 的模和辐角. 解 z = (1 + 3i)4 = 24(cos 2 3 + isin 2 3 )4= 16ei 8 3,|z| = 16, Arg(z) = 2 3 + 2k,k = 0,1,2,. 2.设z = x + iy 满足Re(z2+ 3) = 4, 求x与y 的关系式. 解 Re(z2+ 4) = Re(x2 y2+ 3 + 2xyi) = 4, x2 y2= 1. 3.求f(z) = 1 z 将平面上的直线y = 1所映射成w平面上的曲线方程. 解 由w = 1 z 得z = 1
5、 w,x + iy = 1 u+iv = u u2+v2 v u2+v2i. 又由y = 1得 v u2+v2 = 1, u2+ v2+ v = 0. 4.求角形域0 arg(z) 3 在映射w = z 下的象. 解 arg(w) = arg( z), 而 3 arg( z) 0, 角形域0 arg(z) 3 在映射w = z 下的象为 3 arg(w) 0). 5.函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)在点z0= x0+ iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y) 在点(x0, y0)可微. . 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)在点z0= x0+ iy0可微等价
6、于u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)可微且满 足CR条件. 反例u = x, v = y. du = dx+0dy, dv = 0dxdy, u, v 都可微但f(z) = u+iv = xiy 无 处可微. 6.函数ez是周期函数. . 2i为其周期. 二 填空题 1.设ez= 3 + 4i, 则Re(iz) = 分析：对z = 3 + 4i两边取自然对数，有z = Ln(3 + 4i) = ln| 3 + 4i| + iarg(3 + 4i) + 2ki, 从 而Re(iz) = iiarg(3 + 4i) + 2ki = arctan 4 3 + (2k + 1).(注：这里是
7、从集合角度说) 2. 3i= 分析： 3i= eiLn3= eiln3+iarg(3)+2ki= eiln3+2ki= e2k(cosln3 + isinln3). 3. (1 + i)i= 分析： (1 + i)i= eiLn(1+i)= eiln|1+i|+iarg(1+i)+2ki= eiln 2+i 4+2ki= e2k 4(cosln 2 + isinln2) 4. cos2i = 分析： cos2i = ei2i+ei2i 2 = e2+e2 2 = cosh2.(注： 后两结果都可) 5. 方程eiz= eiz的解为z = 分析：两边同乘以eiz, 得e2iz= 1. 两边取自然
8、对数， 得2iz = Ln1 = ln|1| + iarg(1) + 2ki = 2ki, z = k. 6. 设z = x + iy, 则ei2z的模为 分析： |ei2z| = |ei2(x+iy)| = e2x. 7. 函数f(z) = u + iv 在z0= x0+ iy0点连续是f(z)在该点解析的条件. 分析：f(z)在该点解析, 则f(z)在该点的某一个邻域内可导， 在该点当然连续。填必要. 三 计算、 证明题 1. 问k 取何值时，f(z) = k ln(x2+ y2) + iarctan y x 在域x 0内是解析函数. 分析: 解析的充要条件. ux= 2kx x2+y2,
9、uy = 2ky x2+y2,vy = 1 x 1+y x 2= x x2+y2,vx = y x2+y2. 由ux = vy,uy= vx得: k = 1 2, 即k = 1 2 时f(z)在域x 0内是解析函数. 2. 讨论函数f(z) = (x y)2+ 2(x + y)i在何处可导, 何处解析, 并求其可导点处的导数. 分析: 可导与解析的概念及其联系, 可导与解析的充要条件. ux= 2(xy), uy= 2(yx), vx= 2, vy= 2. 由ux= vy, uy= vx得 x y = 1. 故f(z)仅在x y = 1上可导, f0(z) = ux+ ivx= 2 + 2i,
10、 无处解析. 3. 若函数f(z) = u + iv 解析, 且u = v2, 求证f(z)为一常数. 2 分析: 解析的充要条件. u x = 2vvx= vy, u y = 2vvy= vx两式相乘并整理得 (4v2+ 1)vxvy= 0. 由以上 三式易得vx vy 0, v为常数. 又u = v2, u为常数, 从而f(z) = const. 4.若函数f(z) = u + iv 解析, 且u v = (x y)(x2+ 4xy + y2), 试求u(x,y)和v(x,y). 分析: 解析的充要条件. 由u v = (x y)(x2+ 4xy + y2) (0), 得u = v + x
11、3+ 3x2y 3xy2 y3. 又 由ux= vy,uy= vx, 得: vx+3x2+6xy 3y2= vy(1) vy+3x26xy 3y2= vx(2) 由(1),(2)得vy= 6xy v = 3xy2+ C(x) (3).ux= vy= 6xy u = 3x2y + D(y) (4)将(3),(4)代入(0)式,得u = 3x2y y3+ C,v = 3xy2 x3+ C. 5. 求方程chz = 0的全部解. 分析: 双曲函数的定义. 解法一 chz = ch(z) = ch(iiz) = cos(iz) = 0, z = (k + 1 2)i. 解法二 chz = ez+ez
12、2 = 0, e2z+ 1 = 0.2z = Ln(1) = ln| 1| + iarg(1) + 2ki, z = (k + 1 2)i. 作业卷（三） 一 判断题 1.设C 为f(z)的解析域D内的一条简单正向闭曲线， 则HCf(z)dz = 0. .分析：f(z)的解析域D不足以保证f(z)在C上及内解析。关键词 单连通区域.反例 f(z) = 1 z 在0 |z| 0, 0,if |0 于是, f(3 + 5i) = 0, f(1) = 2i(2 + 1 + 1) = 8i, f0(1) = 2i(4z + 1)z=1= 10i. (说明: 由于提取出 了 f(z) 的表达式, 后面的
13、计算异常简单.) 三 计算、 证明题 1.设点A, B 分别为z1= i和z2= 1 + i, 试计算 R C |z|2dz 的值,其中C 为 (1)点z = 0到点z2的直线段; (2)由点z = 0沿直线到z1再到z2的折线段OAB. 解: (1)该直线段的参数方程: x = t, y = t,0 t 1. R C |z|2dz = R 1 0 (t2+ t2)d(t + it) = 2 3 + i2 3. (2)Oz1段参数方程: x = 0, y = y, 0 y 1. z1z2段参数方程: x = x, y = 1, 0 x 1. R C |z|2dz = R 1 0 y2d(iy)
14、 + R 1 0 (x2+ 1)d(x + i1) = 4 3 + 1 3i. 2.设C 为从2到2的上半圆周,计算积分 R C 2z3 z dz 的值. 解法一: I = R C(2 3 z)dz = (2z 3lnz)| 2 2 = 8 + 3i. 解法二: 该半圆周参数方程: x = 2cos, y = 2sin, 从 到0. I = R 0 2ei3 2ei d(2ei) = 8 + 3i. 3.计算 R i 0 cosz dz 解: I = sinz|1 0 = sini = iee 1 2 . 4.计算 H C 2z+1+2i (z+1)(z+2i) dz, 其中C 为正向圆周|z
15、| = 3. 解法一: I = H C 1 z+1 dz + H C 1 z+2i dz = 2i + 2i = 4i. 解法二: 作两正向小圆C1: |z + 1| = 1 10, C2 : |z + 2i| = 1 10, 则由复合闭路定理, I = H C1 2z+1+2i z+2i z+1 dz + H C2 2z+1+2i z+1 z+2i dz = 2i2z+1+2i z+2i |z=1+ 2i2z+1+2i z+1 |z=2i= 4i. 5.计算积分 1 2i H C ez z(1z)3 dz, (1)当点0在C 内,点1在C 外; (2)当点1在C 内,点0在C 外; (3)当
16、点0, 1均 在C 内; (4)当点0,1均在C 外. (1) I = 1 2i H C ez (1z)3 z dz = ez (1z)3|z=0 = 1. (2) I = 1 2i H C ez z (z1)3 dz = 1 2! (e z z )00|z=1= e 2. (3)1 e 2. (4)0. 6.证明u(x,y) = y3 3x2y 为调和函数, 再求其共轭调和函数v(x,y), 并写出f(z) = u + iv 关于z 的表 达式. 证: ux= 6xy, uxx= 6y, uxy= 6x, uy= 3y2 3x 2, uyx = 6x, uyy= 6y, u的所有二阶偏导数存在 且连续, uxx+ uyy= 0, u(x,y)为调和函数. vy= ux= 6xy, v = R (6xy)dy = 3xy2+ (x). uy= 3y2 3x2= vx= 3y2 0(x), (x) = x3+ C. v = x3 3xy2+
