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1、精品文档 . 第四章习题试解 1. 一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色 散关系。 解：设原子质量为m，周期为 a，第 n个原子偏离平衡位置的位移为 n，第 n-k 及 n+k 个原 子偏离平衡位置的位移分别为 n-k，n+k，其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为-k，k。 n-k n-1 n n+1 n+k 显然： kk 第 n 个原子受n-k 和 n+k 原子的合力为： ()()(2) nkkn knknn kkn kn kn f 第 n 个原子受所有原子的合力为： (2) nkn knkn k f 振动的运动学方程可写为： (2) kkn kn k
2、n k m& & 代入振动的格波形式的解 ()i qnat nq Ae 有 2()()()() ()(2) i qnati q n k ati q n k ati qnat k k m iAeAeAeAe 2 (2)2(cos1) iqkaiqka kk kk meeqka 色散关系即为 22 24 (1cos)sin 2 k k kk qka qka mm 精品文档 . 2. 聚乙烯链 CH CH CH CH 的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述， 原胞两原子质量均为M ，但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为 1和 2，原子链的 周期为 a。证明振动频率为 2 1 12 212 2 2
3、 12 4sin 2 1(1) () qa M 证：如图，任意两个A 原子（或B 原子）之间的距离为a，设双键距离b2，单键距离 b1 CHCHCH CHCHCHCHCHCHCH 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 A B A b2 b1 只考虑近邻作用的A，B 两原子的运动方程为 A： 222121221 ()() nnnnn M & & B： 21122212212 ()() nnnnn M & & 将格波解 () 2 i qnat nAe和 2 () 21 i q na bt nBe代入以上运动方程，有 21 ()()2 21 i qnatiqna bti qnati qnat
4、iqna bt MAeBeAeAeBe 化简得： 12 2 1212 ()()0 iqbiqb MAeeB 同理： 12 2 1212()()0 iqbiqb eeAMB 化为以 A、B 为未知数的线性齐次方程组，它的有解条件是 12 12 2 1212 2 1212 ()() 0 ()() iqbiqb iqbiqb Mee eeM 从而得到 1212 ()()222 12121212 2222 12121212 () 2cos() iq bbiq bb iqaiqa Mee eeqa 2 2222 12121212 212sin ()4sin () 22 qaqa 1 2 2 12 2 1
5、2 2 12 4sin 2 11 () qa M 精品文档 . 3. 求一维单原子链的振动模式密度g( )，若格波的色散可以忽略，其 g( )具有什么形式， 比较这两者的g() 曲线。 解：一维情况q 空间的密度约化为L/2 ，L=Na 为单原子链的长度，其中a 为原子间距，N 为原子数目。 则在 dq 间隔内的振动模式数目为 2 L dq。d频率间隔内的振动模式数目为 2 2 Ldq nd d V 等式右边的因子2 来源于 （q）具有中心反演对称，q0 和 q0 区间是完全等价的。从 而有 1 () L g d dq 对于一维单原子链，只计入最近邻原子之间的相互作用时，有 411 ( )si
6、nsin 22 m qqaqa m 1 22 2 1 cos() 222 mm daa qa dq 其中 m为最大频率。代入 g( )得 1 22 2 2 ()() m N g 考虑 =cq （德拜近似） 由 q0（德拜近似下）, 有 4111 ( )sin 222 mm qqaqaa q m 即 1 2 m ca 则有： 1 2 m d a dq 121 ( ) 1 2 m m NaN g a （常数） 考虑 =0（爱因斯坦近似） 显然有 0 0 0 g 精品文档 . 4. 金刚石（碳原子量为12）的杨氏模量为1012 N m-2，密度 =3.5gcm -3。试估算它的德 拜温度 D=？ 解
7、：德拜温度 D D B k h 22 323 1 ()4 () (2)2 j VV g ccc ， 2 23 3 ( ) 2 V g c 0 ()d3 m gN 21/3 6() D N C V 近似看作弹性介质时， 1/ 2 122 4 33 10 =1.69 10/ 3.5 10 N m Cm s kg m 杨氏模量 密度 每摩尔原子数目为N=6.021023，摩尔质量m=12g，则摩尔体积 3 V=3.43 m cm 代入，得 m=57.97 1013 最后得D=4427K 5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能。 解：根据量子理论，各简谐振动的零点能为 1 2 h 德拜近似下
8、 2 23 3 ( ) 2 V g C 总零点能为 0 34 2323 0 1 () 2 331 444 m m m Egd VV d CC h hh 由自由度确定的 21/3 6() m N C V 代回上式中 444 23233 6 31181181 6 4641616 9 8 mmm m m NNN E C NC N VV N g hhh g h 精品文档 . 6. 一根直径为3mm 的人造蓝宝石晶体的热导率，在30K 的温度达到一个锐的极大值，试 估计此极大值。 （蓝宝石在T D=1000K 时， cV=10 -1T3J m-3 K-1） 解： m D B k h m=1.31 101
9、4 此时声速 2 v在 与晶格常数10-10m 近似时约为2.09 103，近似作为平均声速代入 热导率 3 1 5.643 10 3 c l 7. Na 和 Cl 的原子量分别为23 和 37。氯化钠立方晶胞边长为0.56nm，在 100方向可以 看做是一组平行的离子链。离子间距d=0.28nm 。NaCl 晶体的杨氏模量为5 1010N m -2， 如果全反射的光频率与q=0 的光频模频率相等，求对应的光波波长。 解：当 q=0 时，光频支频率为 2 () mM mM 杨氏模量 10 5 10a，且 9 0.28 10am 故 20 1.7910，再同两原子质量一同代入频率式 20 23
10、26 3.57 10 1.23 10 2.36 10 则波长 0 2 c =1.53 10-14m 8. 立方晶体有三个弹性模量C11， C12和 C44。 铝的 C11=10.82 1010N m -2， C 44=2.85 10 10N m-2， 铝沿 100 方向传播的弹性波纵波速度 11 l C ，横波速度 44 t C ， Al的密度 =2.70 10 3kg m-3。求德拜模型中铝的振动模式密度 g() 。 解：由题条件知 3 6.33 10 l ， 3 3.25 10 t 11 333 1112 ()1.1 10 3 lt 若所考虑的晶体体积为V，则 2122 3 3 ( )5.3 10 2 V gV
