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1、第1讲等差数列及其前n项和一、填空题1在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_.来源解析 a2a4a6a82(a3a7)74.答案 742设等差数列an的前n项和为Sn，若1，则公差为_解析 依题意得S44a1d4a16d，S33a1d3a13d，于是有1，由此解得d6，即公差为6.来源:学,科,网答案 63在等差数列an中，a10，S4S9，则Sn取最大值时，n_.解析因为a10，S4S9，所以a5a6a7a8a90，所以a70，所以从而当n6或7时Sn取最大值答案6或74在等差数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则S9_.解析a1a4a739，a3a6a927，3
2、a439,3a627，a413，a69.a6a42d9134，d2，a5a4d13211，S99a599.答案995设等差数列an的公差为正数，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.解析由15a1a2a33a2，得a25.所以又公差d0，所以所以d3.所以a11a12a133a123(a111d)3(233)335105.答案1056已知数列an的前n项和为Sn2n2pn，a711.若akak112，则正整数k的最小值为_解析因为a7S7S62727p2626p26p11，所以p15，Sn2n215n，anSnSn14n17(n2)，当n1时也满足于是由akak18k3
3、012，得k5.又kN*，所以k6，即kmin6.答案67已知数列an满足递推关系式an12an2n1(nN*)，且为等差数列，则的值是_解析由an12an2n1，可得，则，当的值是1时，数列是公差为的等差数列答案18已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.解析 a7a52d4，d2，a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.答案 310已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12.则数列的通项公式an_.解析由an1f(2n1)2f
4、(2n)2nf(2)2an2n1，得1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，ann2n.答案n2n二、解答题11已知等差数列an的前三项为a1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk2 550，求a和k的值；(2)设bn，求b3b7b11b4n1的值解 (1)由已知得a1a1，a24，a32a，又a1a32a2，(a1)2a8，即a3.a12，公差da2a12.由Skka1d，得2k22 550，即k2k2 5500，解得k50或k51(舍去)a3，k50.(2)由Snna1d得Sn2n2n2n.bnn1，bn是等差数列，则b3b7b11b4n1(31)(71)(111)(4n11)
5、.b3b7b11b4n12n22n.12已知数列an的通项公式为an2n，若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解 a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有解得从而bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sn6n222n.13在等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，a2a345，a1a518.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设，知an是等差数列，且公差d0，则由得解得an4n3(nN*)(2
6、)由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列第2讲等比数列及其前n项和一、填空题1设数列a前n项和为Sn，a1t，a2t2，Sn2(t1)Sn1tSn0，则an是_数列，通项an_.解析由Sn2(t1)Sn1tSn0，得Sn2Sn1t(Sn1Sn)，所以an2tan1，所以t，又t，所以an成等比数列，且anttn1tn.答案等比tn2等比数列an的前n项和为Sn,8a2a50，则_.解 8a2a58a1qa1q4a1q(8q3)0q21q37.答案 73数列an为正项等比数列，若a22，且
7、anan16an1(nN，n2)，则此数列的前4项和S4_.解析由a1q2，a1qn1a1qn6a1qn2，得qn1qn6qn2，所以q2q6.又q0，所以q2，a11.所以S415.答案154已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为_解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比数列知24t，显然t0，所以t5.答案55已知各项都为正数的等比数列an中，a2a44，a1a2a314，则满足anan1an2的最大正整数n的值为_解析由等比数列的性质，得4a2a4a(a30)，所以a32，所以a1a214a312，于是由解得所以an8n1n4.于是由anan1an2
8、a3(n3)n3，得n31，即n4.答案46在等比数列an中，an0，若a1a2a7a816，则a4a5的最小值为_解析 由已知a1a2a7a8(a4a5)416，所以a4a52，又a4a522(当且仅当a4a5时取等号)所以a4a5的最小值为2.答案 27已知递增的等比数列an中，a2a83，a3a72，则_.解析 an是递增的等比数列，a3a7a2a82，又a2a83，a2，a8是方程x23x20的两根，则a21，a82，q62，q3，q3.答案 8设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为_解析由题意知a3q，a
9、5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.答案二、解答题11在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；来源:Zxxk.Com(2)设数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn.解 (1)设等差数列an的公差是d.依题意a3a8(a2a7)2d6，从而d3.由a2a72a17d23，解得a11.所以数列an的通项公式为an3n2.(2)由数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，来源得anbncn1，即3n2bncn1，所以bn3n2cn1.所以Sn147(3n2)(1cc2cn1)
10、(1cc2cn1)从而当c1时，Snn.当c1时，Sn.来源:Z*xx*k.Com12设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，S41，S817.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m，使得nm时，an恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由解 (1)设an的公比为q，由S41，S817知q1，所以得1，17.相除得17，解得q416.所以q2或q2(舍去)由q2可得a1，所以an.(2)由an，得2n12 011，而2102 011恒成立13已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2a465，a1a518.(1)求数列an的通项公式an.(2)若1i2
11、1，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(3)是否存在常数k，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由解(1)因为a1a5a2a418，又a2a465，所以a2，a4是方程x218x650的两个根又公差d0，所以a2a4.所以a25，a413.所以解得a11，d4.所以an4n3.(2)由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(3)由(1)知，Snn142n2n.假设存在常数k，使数列为等差数列，由等差数列通项公式，可设anb，得2n2(k1)nan22abnb恒成立，可得a2，b0，k1.所以存在k1使得为等差数列第3讲等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn_.解析 由题意设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d，Snna1dn.答案 n2数列an的通项公式an，若前n项的和为10，则项数为_解析 an，Sn110，n120.答案 1203已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为_解析a55，S515，15，即a11.
