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1、1,补充材料 : 张量分析初步,Advanced Mechanics of Composite Materials,目 录,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,Appendix A,引 言,广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示,主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分
2、析，清华大学出版社，2003.,张量基本概念,标 量（零阶张量） 例如：质量，温度 质量密度 应变能密度 等等。 其值与坐标系选取无关。,张量基本概念,矢 量（一阶张量） 例如：位移，速度， 加速度，力， 法向矢量, 等等。,矢 量（一阶张量） 矢量u在笛卡尔坐标系中分解为,其中u1, u2, u3 是u的三个分量，e1, e2, e3是单位基矢量。,张量基本概念,矢 量（一阶张量）,既有大小又有方向性的物理量; 其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系； 遵从相应的矢量运算规则。,张量基本概念,矢 量(可推广至张量)的三种记法：,实体记法： u 分解式记法： 分量记法：,Appendix A
3、.1,张量基本概念,Appendix A.1,张量基本概念,指标符号用法 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：,爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。,张量基本概念,由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换： 由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：,只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围和 i 相同。,张量基本概念,约定： 如果不标
4、明取值范围，则拉丁指标 i, j, k, 表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标, , , 均为二维指标，取值1, 2。,张量基本概念,拉丁指标,希腊指标,张量基本概念,二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量 弹性张量，等。,张量基本概念,二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量； 低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。,张量基本概念,应力张量,张量基本概念,张量的三种记法： 实体记法： 分解式记法： 分量记法：,张量基本概念,张量基本概念,爱因斯坦求和约定,采用指标符号后，线性变换表示为,利用爱
5、因斯坦求和约定，写成：,其中 j 是哑指标，i 是自由指标。,张量基本概念,例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为 （或 ）。 矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。,Appendix A.1,张量基本概念,在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：,若i为自由指标,张量基本概念,自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。 例如：表达式 在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有,张量基本概念,同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。 自由指标必
6、须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。,i 换成k,张量基本概念,24,指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系,可简写成：,场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分：,张量基本概念,25,可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。 例如：,若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：,张量基本概念,26,但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。,张量基本概念,27,小结,通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个
7、方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项中若同时出现 m 对取值范围为1n 的哑指标，则此项含相互迭加的 n m 个项。,张量基本概念,28,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,29,符号ij 与erst,ij 符号 (Kronecker delta) 定义(笛卡尔坐标系),30,3. 换标符号，具有换标作用。例如：,2. ij
8、的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间,即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而 自动消失。,符号ij 与erst,31,类似地有,符号ij 与erst,32,erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington) 定义(笛卡尔坐标系),(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。,或,符号ij 与erst,33,特性 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0 对其任何两个指标都是反对称
9、的，即 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变,符号ij 与erst,34,常用实例 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为1，即ei ej1 (当ij时) 不同基矢量互相正交，即ei ej0 (当ij时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式： ei ej ij,符号ij 与erst,35,当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有,而对于左手系，有：,符号ij 与erst,36,2. 矢量的点积： 3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：,如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。,符号ij 与erst,37,叉积的几
10、何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量 a 和 b 构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。,符号ij 与erst,38,符号ij 与erst,39,三个矢量a, b, c的混合积是一个标量，其定义为：,符号ij 与erst,若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。 当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。,40,由此可见符号ij 和 erst 分别与矢量代数中的点积和叉积有关。,利用(1)和(2)式有,符号ij 与erst,41,4. 三阶行列式的值,符号ij 与erst,42,符号ij 与erst,4. 三阶行
11、列式的值,43,符号ij 与erst,4. 三阶行列式的值,44,5. e- 恒等式，其一般形式为： 即 退化形式为：,符号ij 与erst,45,1. 平衡方程：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,46,2. 几何方程：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,47,3. 本构方程（各向同性材料）：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,提示：可以用到 kk 和 ij ij =2 ij G=E/2(1+),48,4. 变形协调方程（平面应变）：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,提示：二维指标为希腊字母, , , ，取值1, 2。,49,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和
12、约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,50,坐标与坐标转换,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系),51,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系) 坐标变化时，矢径的变化为,坐标与坐标转换,52,任意坐标系 坐标变化时，矢径的变化为,坐标与坐标转换,53,概念 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi,坐标与坐标转换,54,参考架 空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对
13、其相应作用点处的参考架分解。 对笛卡尔坐标系：,坐标与坐标转换,55,三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基,坐标与坐标转换,56,欧氏空间中的一般坐标系 现在的坐标线可能不再正交； 不同点处的坐标线可能不再平行； 基矢量的大小和方向都可能随点而异； 各点处的参考架不再是正交标准化基。,坐标与坐标转换,57,坐标转换,坐标与坐标转换,58,将新基 对老基 分解： 转换系数： 反之：,坐标与坐标转换,59,向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边： 右边：,坐标与坐标转换,60,由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式,坐标与坐标转换,61,
14、坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合),坐标与坐标转换,62,坐标转换的一般定义 设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系， 和 是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组 定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换。 其逆变换为 对(*)式微分,(*),坐标与坐标转换,63,处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用 唯一确定,其系数行列式(雅克比行列式),坐标与坐标转换,64,容许转换 由单值、一阶偏导数连续、且 J 处处不为零的转换函数所实现的坐标转换 正常转换 J 处处为正，把右手系转换右手系 反常转换 J 处处为负，把右手系转换成左手系,坐标与坐标转换,65,目 录,Appendix
15、A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,66,张量的分量转换规律 张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关。 所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性。,张量的分量转换规律,67,标量分量转换规律 设一个标量在新、老坐标系中的值为t 和t ，则 矢量分量转换规律,张量的分量转换规律,68,张量分量转换规律 以三维空间的二阶张量为例，其分解式是： 其中，Tij 为张量分量，eiej称为基矢量，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。,张量的分量转换规律,张量的分量表示法,张量的实体表示法,（并矢表示法）,69,张量分量转换规律 即,张量的分量转换规律,70,高阶张量的分量满足如下转换规律,张量的分量转换规律,71,注： 在一个表示全部张量分量集合的指标符号 中，自由指标的数目等于张量的阶数 K，每个自由指标的取值范围等于张量的维数 n，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以 n 维 K 阶张量共有 nK 个分量。,张量的分量转换规律,72,张量方程 定义 每
