《李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714).pdf（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 章 复习与思考题 习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。 答：用两端点的算术平均值作为( )f 的近似值，这样导出的求积公式 ( )d ( )( ) 2 a a ba f xxf af b ，就是梯形求积公式。 而如果改用区间中点 2 ba c 近似取代( )f ，则导出中矩形公式 ( )d() () 2 a a ab f xxba f 几何意义的图形，略。 2、什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？ 答：如果某个求积公式对次数不超过 m 的多项式均能准确成立，但对于 m+1 次多项式就不 准确成立，则称该求积公式具有 m 次代
2、数精度 梯形公式和中矩形公式的代数精度为 1. 3、对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。 由于是给定求积公式的节点，因此，不能使用高斯型求积公式 由于未说明是等距节点，因此不能用牛顿-科特斯求积公式。 未找到明确的资料. 答：插值型求积公式和. 4、什么是牛顿-柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？ 答：设积分区间a,b划分为 n 等份，步长 h=（b-a）/n,选取等距节点 k xakh 构造出的 插值型求积公式 0 ()() n k nnk k IbaC f x 成为牛顿-柯特斯求积公式，式中 k n C称为柯特斯系数。 其节点是等距分布的，代数精度为节点数
3、 n-1 次。 5、什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？ 当 n=2 时，牛顿-柯特斯求积公式即为辛普森求积公式，其余项为 4(4) ( )()( ) 1802 ba ba R ff 其，代数精度为 3. 6、什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。 答：为了提高计算精度，通常把积分区间分成若干子区间（通常是等分） ，再在每个子区间 上使用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。 复合梯形公式为 11 1 01 2 ()() (a)()( ) 22 ( )( ),a,b 32 nn kkk kk nn hh Tnf xf xff xf b ba h RfITf
4、7、给出复合辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断误差？ 复合辛普森公式为 11 1/2 01 4 (4) (a)4()2()( ) 6 ( )( ), ,b 1802 nn kk kk nn h Snff xf xf b ba h RfISfa 8、什么是龙贝格求积？它有什么优点？ 龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。 它是在梯形公式、 辛普森公式和柯特斯公式之间的 关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。使用理查森外推算法, 它在不增加计算量 的前提下提高了误差的精度. 在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样， 前一次分割得到的函数值在分半以
5、后仍可被利用,且易于编程。 龙贝格算法公式 ( )(1)( ) 11 41 ,1,2,3. 4141 m kkk mmm mm TTTk 9、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称 它是具有最高代数精确度的求积公式？ 答： 如果求积公式 0 ( ) ( )d() an n kk k a f xxxA f x 具有 2n-1（n 为秋季节点数）次代数精度，则称其节点 k x为高斯点，求积公式为高斯型求 积公式。 可以使用证明的方法求证，插值公式的代数精度不超过 2n-1。即回到了最后一个问题。 根据老师的讲课，给出证明的方法。 10、牛顿-柯特斯求积和高斯求
6、积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方 法哪个更精确？为什么？ 牛顿-柯特斯求积节点等距分布 高斯求积的节点分布是插值型多项式的零件。 对同样数目的节点，高斯求积更精确。 11、描述自动求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？ 答：如果求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值变化剧烈，需要使用小不长，另一 部分函数值变化平缓， 可以使用大步长， 针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长， 使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小， 针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。 12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩
7、形域上的二重积分 基本原则：累次积分。 多重积分的辛普森公式： 11 01/2 01 ( , ) ( ,)4( ,)2( ,)( ,) 6 bd ac MM bbbb iiM aaaa ii f x y dydx k f x y dxf x ydxf x y dxf x ydx 对每一个积分再次利用辛普森公式 11 1/2 01 ( )4()2()( )( 6 ) nn kk k a k b h f af xff xf bx dx 13、对给定函数，给出两种近似求导的方法。若给定函数值有扰动，在你的方法中怎样处理 这个问题？ 14、判断如下命题是否正确： （1）如果被积函数在区间a , b 上
8、连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。 （2）数值求积公式计算总是稳定的。 （3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。 （4）n + 1 个点的插值型求积公式的代数精确度至少是 n 次，最多可达到 2n + 1 次。 （5）高斯求积公式只能计算区间-1, 1上的积分。 （6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。 （7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。 （8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。 （9）由于龙贝格求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。 （10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。 1） 正确 2） 错误 3） 错误，是衡量计算准
9、确度的一个指标 4） 正确 5） 错误，可以通过变化使得计算时区间在-1,1上。 6） 错误，典型的例子是，当 n 为偶数时，牛顿-柯斯特公式至少为 n+1 阶代数精度。 7） 错误。梯形公式，代数精度为 1，两点高斯公式代数精度为 3 8） 正确 9） 错误。龙贝格精度为 2n，牛顿-柯特斯精度最大为 n+1 10） 错误。 习题 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度。 1）)()0()()( 101 hfAfAhfAdxxf h h ； 2）)()0()()( 101 2 2 hfAfAhfAdxxf h h ； 3）3/)(3)
10、(2) 1()( 21 1 1 xfxffdxxf ； 4）)()0(2/)()0()( 2 0 hffahhffhdxxf h 。 1）)()0()()( 101 hfAfAhfAdxxf h h 由于需要确定 3 个 未知量，因此，需要给定 3 个方程。 设 2 ( )1, ,f xx x，有 101 11 322 11 2 0 2 3 hAAA hAhA hh Ah A 解出 101 1 0 1 2 1 3 4 3 1 3 hAAA Ah Ah Ah 令 3 ( )f xx， 有 333443 411 ()000 33333 h h hhh hhhhx dx 令 4 ( )f xx， 有
11、 4445455 4212 ()00 333355 hh hh hhh hhhx dxxh 因此，具有 3 次代数精度。 2）)()0()()( 101 2 2 hfAfAhfAdxxf h h 由于需要确定 3 个 未知量，因此，需要给定 3 个方程。 设 2 ( )1, ,f xx x，有 101 11 322 11 4 0 16 3 hAAA hAhA hh Ah A 解出 101 1 0 1 4 8 3 4 3 8 3 hAAA Ah Ah Ah 令 3 ( )f xx， 有 333443 84888 ()000 33333 h h hhh hhhhx dx 令 4 ( )f xx，
12、有 2 4445455 2 84816164 ()00 333355 hh hh hhh hhhx dxxh 因此，具有 3 次代数精度。 3） 1 12 1 ( ) ( 1)2 ( )3 ()/3f x dxff xf x 需要确定 2 个待定参数，因此，令 设 2 ( )1, ,f xx x，有 12 22 12 21 23/3 01 23/3 2 1 23/3 3 xx xx 解出 0.6899 0.2899 0.6899 0.5 1 2 1 2266 x x x x 令 3 ( )f xx， 有 11 43 11 33 1 0( ) 4 ( 1)2 (-0.6899)3 (0.2899
13、)/3 12 -0.68993 0.2899 /3 -0.52788 xx dxf x dx fff 因此，具有 2 次代数精度。 4) )()0(2/)()0()( 2 0 hffahhffhdxxf h 需要确定 2 个待定参数，因此，令 设 2 ( )1, ,f xx x，有 22 3 33 0 0 22 / 22 3 hh hh h hah 解出 1 12 a ，h 为任意常数 令 3 ( )f xx，有 4 3444 00 11 ( )/2 444 hh h x dxf x dxhhh 令 4 ( )f xx，有 5 4555 00 11 ( )/2 536 hh h x dxf x
14、 dxhhh 所以代数精度为 3. 2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (1) 1 2 0 ,8 4 x dx n x (2) 9 1 ,4xdxn (3) /6 2 0 4sin,6dn (1) 1 2 0 ,8 4 x dx n x 梯形公式 1 1 ( )2()( ) 2 n nk k h Tf af xf b 8n ,所以,0,1,2,3,4,5,6,7,8 8 k k xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.0311 0.0615 0.0906 0.1176 0.1423 () () () () () () ().16440 (0.1836 0 ) ().200
15、f x f x f x f x f x f x f x f x f x 所以有 1 8 1 (0)2()(1) 2 0.1114 n k k h Tff xf 辛普森公式 111 1/2 001 ( )4()2()( ) 6 nnn nkk kkk h Sf af xf xf b 4n ,所以,0,1,2,3,4 4 k k xk 1/2 1 ,0,1,2,3 84 k k xk 所以 111 41/2 001 (0)4()2()(1) 6 0.11157 nnn kk kkk h Sff xf xf (2) 9 1 ,4xdxn 梯形公式 1 1 ( )2()( ) 2 n nk k h Tf af xf b 4n ,所以12 ,0,1,2,3,4 k xk k 1.0000 1.7321 2.2361 2.6458 3.000 ,0,1
