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1、第五章大数定律及中心极限定理 1 据以往经验 ，某种电器元件的寿命服从均值为 h 的指数分布 ，现随 机地取 只 ， 设它们的寿命是相互独立的 求这 只元件的寿命的总和大于 h 的概率 解以 Xi（i ， ， ， ） 记第 i只元件的寿命 ， 以 T 记 只 元件寿命的 总和 ：T 钞 i Xi，按题设 E（ Xi） ，D（ Xi） ，由中心极限定理知 T 近似地服从 N（ ， ） 分布 ， 故所求概率为 P T P T P T （ ） 畅 畅 2 （） 一保险公司有 个汽车投保人 ， 每个投保人索赔金额的数学期 望为 美元 ， 标准差为 美元 ， 求索赔总金额超过 美元的概率 （） 一公司有
2、 张签约保险单 ， 各张保险单的索赔金额为 Xi，i ， ， ， （以千美元计） 服从韦布尔（Weibull） 分布 ， 均值 E（ Xi） ， 方差 D（ Xi） ， 求 张保险单索赔的合计金额大于 的概率（设各保险单索赔金额是相互独 立的） 解（） 记第 i 人的索赔金额为 Xi， 则由已知条件 E（ Xi） ， D（ Xi） 要计算 p P 钞 i Xi ， 因各投保人索赔金额是独立的 ，n 很大 故由中心极限定理 ， 近似地有 X 钞 i Xi N ， ， 故 p P（ X ） （畅） 畅 （） E（ Xi） ，D（ Xi） ，n 故 p P 钞 i Xi （畅） 畅 这与情况（） 相
3、反 （） 的概率为 畅 表明可能性很大 而（） 表明可能性太 小了 ， 大约 次索赔中出现 的只有一次 3 计算器在进行加法时 ， 将每个加数舍入最靠近它的整数 ，设所有舍入误 差相互独立且在（ 畅 ， 畅） 上服从均匀分布 （） 将 个数相加 ， 问误差总和的绝对值超过 的概率是多少 ？ （） 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 的概率不小于 畅 ？ 解设第 k 个加数的舍入误差为 Xk（k ， ， ， ） ，已知 Xk在 （ 畅 ， 畅） 上服从均匀分布 ， 故知 E（ Xk） ，D（ Xk） （） 记 X 钞 k Xk， 由中心极限定理 ， 当 n 充分大时有近似公式 P 钞 k
4、 Xk x （ x） 于是 PX PX P X P X （畅） 畅 畅 即误差总和的绝对值超过 的概率近似地为 畅 （） 设最多有 n个数相加 ， 使误差总和 Y 钞 n k Xk符合要求 ， 即要确定 n， 使 P Y 畅 由中心极限定理 ， 当 n 充分大时有近似公式 P Y n x（ x） 811概率论与数理统计习题全解指南 于是 P Y P Y P n Y n n n n n 因而 n 需满足 n ， 亦即 n 需满足 n 畅 （畅） ， 即 n应满足 n 畅 ， 由此得 n 畅 因 n为正整数 ， 因而所求的 n为 故最多只能有 个数加在一起 ， 才能使得 误差总和的绝对值小于 的概
5、率不小于 畅 4 设各零件的重量都是随机变量 ， 它们相互独立 ， 且服从相同的分布 ，其数 学期望为 畅 kg ， 均方差为 畅 kg ， 问 个零件的总重量超过 kg 的概 率是多少 ？ 解以 Xi（i ， ， ， ） 记第 i个零件的重量 ， 以 W 记 个零件 的总重量 ：W 钞 i Xi 按题设 E（ Xi） ，D（ Xi） 畅 ， 由中心极限定理 ， 可 知 W 畅 畅 近似地服从 N（ ， ） 分布 ， 故所求概率为 P W PW P W 畅 畅 畅 畅 畅 畅 （ ） 畅 畅 畅 5 有一批建筑房屋用的木柱 ，其中 的长度不小于 m ，现从这批木柱 中随机地取 根 ， 求其中至
6、少有 根短于 m 的概率 解按题意 ， 可认为 根木柱是从为数甚多的木柱中抽取得到的 ， 因而可 当作放回抽样来看待 将检查一根木柱看它是否短于 m 看成是一次试验 ， 检查 根木柱相当于做 重伯努利试验 以 X记被抽取的 根木柱中长度短于 m 的根数 ， 则 X b（ ， 畅） 于是由教材第五章 定理三得 P X P X 911第五章 大数定律及中心极限定理 P 畅 畅 畅 X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 （ ） （畅） 畅 畅 畅 本题也可以这样做 ， 引入随机变量 ： Xk ， 若第 k 根木柱短于 m ， ， 若第 k 根木柱不短于 m ， k ， ， ， 畅 于是 E（ Xk） ，D（
7、Xk） 畅 畅 以 X 表示 根木柱中短于 m 的根 数 ， 则 X 钞 k Xk 由中心极限定理有 P X P X P 畅 畅 畅 钞 k Xk 畅 畅 畅 畅 畅 畅 （ ） （畅） 畅 畅 6 一工人修理一台机器需两个阶段 ， 第一阶段所需时间（小时） 服从均值为 的指数分布 ， 第二阶段服从均值为畅 的指数分布 ， 且与第一阶段独立 现有 台机器需要修理 ， 求他在 小时内完成的概率 解设修理第 i （i ， ， ， ） 台机器 ， 第一阶段耗时 Xi， 第二阶段为 Yi， 则共耗时 Zi Xi Yi，今已知 E（ Xi） 畅 ，E（Yi） 畅 ，故 E（Zi） 畅 D（Zi） D（
8、Xi） D（Yi） 畅 畅 畅畅 台机器需要修理的时间可认 为近似服从正态分布 ， 即有 钞 i Zi N（ 畅 ， 畅） N（ ， 畅） 所求概率 p P 钞 i Zi 畅 畅 畅 （ 畅） 畅 ， 即不大可能在 小时内完成全部工作 7 一食品店有三种蛋糕出售 ，由于售出哪一种蛋糕是随机的 ，因而售出一 只蛋糕的价格是一个随机变量 ，它取 元 、畅 元 、 畅 元各个值的概率分别为 畅 、 畅 、 畅畅 若售出 只蛋糕 021概率论与数理统计习题全解指南 （） 求收入至少 元的概率 ； （） 求售出价格为畅 元的蛋糕多于 只的概率 解设第 i 只蛋糕的价格为 Xi，i ， ， ， ， 则 X
9、i有分布律为 Xi畅畅 pk畅畅畅 由此得 E（ Xi） 畅 畅 畅 畅 畅 畅 ， E（ X i） 畅 畅 畅 畅 畅 畅 ， 故 D（ Xi） E（ X i） E（ Xi） 畅 畅 （） 以 X 表示这天的总收入 ， 则 X 钞 i Xi， 由中心极限定理得 P X P X P 畅 畅 钞 i Xi 畅 畅 畅 畅 （畅） 畅 畅 （） 以 Y 记 只蛋糕中售价为 畅 元的蛋糕的只数 ，于是 Y b（ ， 畅） E（Y） 畅 ，D（Y） 畅 畅 ， 由棣莫弗 拉普拉斯定理得 PY PY P Y 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 （） 畅 8 一复杂的系统由 个相互独立起作用的部件所组成
10、，在整个运行期间 每个部件损坏的概率为 畅 为了使整个系统起作用 ，至少必须有 个部件正 常工作 ， 求整个系统起作用的概率 解将观察一个部件是否正常工作看成是一次试验 ，由于各部件是否正常 工作是相互独立的 ， 因而观察 个部件是否正常工作是做 重伯努利试验 ， 以 X表示个部件中正常工作的部件数 ， 则 X b（ ， 畅） ， 按题意需求概率 P X ， 由棣莫弗 拉普拉斯定理知 X 畅 畅 畅 近似地服从标准正态 分布 N（ ， ） ， 故所求概率为 121第五章 大数定律及中心极限定理 P X P X P 畅 畅 畅 X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 9 已知在某十字路口 ， 一周事故发
11、生数的数学期望为 畅 ， 标准差为畅 （） 以 X 表示一年（以 周计） 此十字路口事故发生数的算术平均 ， 试用中 心极限定理求 X 的近似分布 ， 并求 P X （） 求一年事故发生数小于 的概率 解 （） E（ X ） E（ X） 畅 ， D（ X ） D（ X） 畅 ， 由中心极限定理 ， 可认为 X N（畅 ， 畅 ） P X 畅 畅 畅 畅 （ 畅） （畅） 畅 畅 （） 一年 周 ，设各周事故发生数为 X，X， ，X则需计算 p P 钞 i Xi ， 即 P X 用中心极限定理可知所求概率为 p P X P X 畅 畅 （ 畅） 畅 畅 10 某 种小汽车氧化氮的排放量的数学期望
12、为 gkm ，标准差为 畅 gkm ， 某 汽车公司有这种小汽车 辆 ，以 X 表示这些车辆氧化氮排放量 的算术平均 ， 问当 L 为何值时 X L 的概率不超过 畅 解 设以 Xi（i ， ， ， ） 表示第 i 辆小汽车氧化氮的排放量 ， 则 X 钞 i Xi 由已知条件 E（ Xi） 畅 ，D（ Xi） 畅 得 E（ X ） 畅 ， D（ X ） 畅 各辆汽车氧化氮的排放量相互独立 ， 故可认为近似地有 221概率论与数理统计习题全解指南 X N 畅 ， 畅 需要计算的是满足 P X L 畅 的最小值 L 由中心极限定理 P X L P X 畅 畅 L 畅 畅 畅畅 L 应为满足 L 畅
13、 畅 畅 的最小值 ， 即 L 畅 畅 畅 （畅） ， 即 L 畅 畅 畅 ， 故L 畅 畅 畅 畅 ， 应取 L 畅 gkm畅 11 随机地选取两组学生 ， 每组 人 ，分别在两个实验室里测量某种化合 物的 pH 各人测量的结果是随机变量 ， 它们相互独立 ，服从同一分布 ，数学期望 为 ， 方差为 畅 ， 以 X ，Y 分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均 （） 求 P畅 X 畅 （） 求 P 畅 X Y 畅 解由题设 E（ X ） ，D（ X ） D（Y ） 畅 （） 由中心极限定理知 X 近似服从 N（ ， 畅 ） ， 故 P畅 X 畅 P 畅 畅 X 畅 畅 畅 畅 畅 畅 畅 （畅） 畅 畅 （） 因 E（ X Y ） E（ X ） E（Y ） ，D（ X Y ） D（ X ） D（Y ） 畅 ， 由中心极限定理 P 畅 X Y 畅
