《概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案.pdf(47页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第六章第六章 参数估计参数估计 习题习题 6.1 1 设 X1, X2, X3是取自某总体容量为 3 的样本,试证下列统计量都是该总体均值 的无偏估计,在方差存 在时指出哪一个估计的有效性最差? (1) 3211 6 1 3 1 2 1 XXX+=; (2) 3212 3 1 3 1 3 1 XXX+=; (3) 3213 3 2 6 1 6 1 XXX+= 证:因=+=+= 6 1 3 1 2 1 )( 6 1 )( 3 1 )( 2 1 )( 3211 XEXEXEE, =+=+= 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )( 3212 XEXEXEE, =
2、+=+= 3 2 6 1 6 1 )( 3 2 )( 6 1 )( 6 1 )( 3213 XEXEXEE, 故 321 ,都是总体均值 的无偏估计; 因 2222 3211 36 14 36 1 9 1 4 1 )Var( 36 1 )Var( 9 1 )Var( 4 1 )Var(=+=+=XXX, 2222 3212 3 1 9 1 9 1 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )Var(=+=+=XXX, 2222 3213 2 1 9 4 36 1 36 1 )Var( 9 4 )Var( 36 1 )Var( 36 1 )Var(=+=+=XXX, 故
3、)Var()Var()Var( 312 = y yn n Y y n yp , 则 1 ) 1( )( e )( e )( 1 1 0 2 0 1 = = = = = + + n nn n n dyy n n dyy ny n Y n E X E n n yn n yn n , 故X/1不是的无偏估计 3 设是参数 的无偏估计,且有0) (Var,试证 2 ) (不是 2的无偏估计 证:因=) (E,有 2222 ) Var() () Var() (+=+=EE,故 2 ) (不是 2的无偏估计 4 设总体 X N ( , 2), X1, , Xn是来自该总体的一个样本 试确定常数 c 使 =
4、 + n i ii XXc 1 2 1 )(为 2的无 偏估计 解:因 E(Xi + 1 Xi )2 = Var (Xi + 1 Xi ) + E(Xi + 1 Xi )2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + E(Xi + 1) E(Xi )2 = 2 2, 2 则 22 1 1 2 1 1 1 2 1 ) 1(22) 1()()(= = + = + ncncXXEcXXcE n i ii n i ii , 故当 ) 1(2 1 = n c时, 2 1 1 2 1 )(= = + n i ii XXcE,即 = + 1 1 2 1 )( n i ii XXc是 2的无偏估
5、计 5 设 X1, X2, , Xn是来自下列总体中抽取的简单样本, + = ., 0 ; 2 1 2 1 , 1 );( 其他 x xp 证明样本均值X及)( 2 1 )()1(n XX+都是 的无偏估计,问何者更有效? 证:因总体 + 2 1 , 2 1 UX,有) 1, 0( 2 1 UXY+=, 则 2 1 +=YX, 2 1 )1()1( +=YX, 2 1 )()( += nn YX,即 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )()1()()1( +=+ nn YYXX, 可得=+=+= 2 1 )( 2 1 )()(YEYEXE, n Y n YX 12 1 )Var( 1 )Va
6、r()Var(=, 因 Y 的密度函数与分布函数分别为 pY ( y) = I0y1, = . 1, 1 ; 10, ; 0, 0 )( y yy y yFY 有 Y (1)与 Y (n)的密度函数分别为 10 11 1 )1 ()()(1 )( = y n Y n Y ynypyFnyp, 10 11 )()()( = y n Y n Yn nyypyFnyp, 且(Y (1), Y (n)的联合密度函数为 )()1( )()()()()1(),( )()1( 2 )1()()()1(1 n yynYY n YnYnn ypypyFyFnnyyp = 10 2 )1()( )()1( )(1
7、( 1 时, )2)(1(2 1 )( 2 1 Var 12 1 )Var( )()1( + = += nn XX n X n , 故)( 2 1 )()1 (n XX+比样本均值X更有效 6 设 X1, X2, X3服从均匀分布 U (0, ),试证 )3( 3 4 X及 4X (1)都是 的无偏估计量,哪个更有效? 解:因总体 X 的密度函数与分布函数分别为 = x xp 0 1 )(, = ., 1 ;0, ; 0, 0 )( x x x x xF 有 X (1)与 X (3)的密度函数分别为 = x x xpxFxp 0 3 2 2 1 )(3 )()(1 3)(, )3()1( 3
8、4 Var)4Var(XX, 故 )3( 3 4 X比 4X (1)更有效 7 设从均值为 ,方差为 2 0 的总体中,分别抽取容量为 n1和 n2的两独立样本, 1 X和 2 X分别是这 两个样本的均值试证,对于任意常数 a, b(a + b = 1) , 21 XbXaY+=都是 的无偏估计,并确定常 数 a, b 使 Var (Y ) 达到最小 解:因=+=+=+=)()()()( 21 babaXbEXaEYE, 故 Y 是 的无偏估计; 因 2 22 2 21 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 12 )1 ()(Var)(Var)(Var + + =+=+= n a n
9、a nn nn n a n aXbXaY, 令0 2 2)(Var 2 221 21 = + = n a nn nn Y da d ,得 21 1 nn n a + =,且02)(Var 2 21 21 2 2 + = nn nn Y ad d , 故当 21 1 nn n a + =, 21 2 1 nn n ab + =时,Var (Y ) 达到最小 2 21 1 nn + 8 设总体 X 的均值为 ,方差为 2,X1, , Xn是来自该总体的一个样本,T (X1, , Xn)为 的任一线性 无偏估计量证明:X与 T 的相关系数为)Var()Var(TX 证:因 T (X1, , Xn)为
10、 的任一线性无偏估计量,设 = = n i iin XaXXT 1 1 ),(L, 则= = n i i n i ii aXEaTE 11 )()(,即1 1 = = n i i a, 因 X1, , Xn相互独立,当 i j 时,有 Cov (Xi, Xj) = 0, 则 n a n XX n a XaX n XaX n TX n i i n i ii i n i iii n i ii n i i 2 1 2 1111 ),Cov(, 1 Cov, 1 Cov),Cov( = = = = , 因),Cov()Var( 1 )Var( 2 TX n X n X= , 故X与 T 的相关系数为
11、)Var( )Var( )Var()Var( )Var( )Var()Var( ),Cov( ),Corr( T X TX X TX TX TX= 9 设有 k 台仪器,已知用第 i 台仪器测量时,测定值总体的标准差为 i(i = 1, , k) 用这些仪器独立 地对某一物理量 各观察一次,分别得到 X1, , Xk ,设仪器都没有系统误差问 a1, , ak应取何值, 方能使 = = k i iiX a 1 成为 的无偏估计,且方差达到最小? 难 5 解:因 = = = k i i k i i k i ii k i ii aaxEaxaEE 1111 )() (, 则当1 1 = = k i
12、 i a时, = = k i iix a 1 是 的无偏估计, 因 = = = k i ii k i ii k i ii axaxa 1 22 1 2 1 )(VarVar) (Var, 讨论在1 1 = = k i i a时, = k i ii a 1 22 的条件极值, 设拉格朗日函数 += = 1),( 11 22 1 k i i k i iik aaaaLL, 令 = =+= =+= = , 01 , 02 , 02 1 2 2 11 1 k i i kk k a L a a L a a L LLLLL 得 22 1 2 + = k L , 22 1 2 + = k i i a L ,
13、i = 1, , k, 故当 22 1 2 + = k i i a L ,i = 1, , k 时, = = k i iix a 1 是 的无偏估计,且方差达到最小 10设 X1, X2, , Xn是来自 N (, 1)的样本,证明 g( ) = | | 没有无偏估计(提示:利用 g( )在 = 0 处不可 导) 证:反证法:假设 T = T (X1, X2, , Xn)是 g( ) = | | 的任一无偏估计, 因 = = n i i X n X 1 1 是 的一个充分统计量,即在取定xX =条件下,样本条件分布与参数 无关, 则)|(XTES =与参数 无关,且 S 是关于X的函数,|)(
14、)()|()(=gTEXTEESE, 可得)(XSS =是 g( ) = | | 的无偏估计, 因 X1, X2, , Xn是来自 N (, 1)的样本,由正态分布可加性知X服从正态分布 n N 1 ,, 则 + + =dxxS n dx n xSSE xnx nn x n 222 22 )( 2 e)(e 2 e 2 )()(, 因 E(S) = | |,可知对任意的,反常积分 + + dxxS xnx n 2 2 e)(收敛, 6 则由参数 的任意性以及该反常积分在与+两个方向的收敛性知 + + dxxS xnx n | 2 2 e)( 收敛, 因xnxSxS xnx n xnx n =
15、+ 22 22 e)(e)(,且| y | e | y |,有 |)1| ( 22 22 ee xnx n xnx n xn + , 则由 + + dxxS xnx n |)1|(| 2 2 e)( 的收敛性知 + + dxxS xnx n 2 2 e)(一致收敛, 可得 + + =dxxS n SE xnx nn 22 22 e)(e 2 )(关于参数 可导,与 E(S) = | |在 = 0 处不可导矛盾, 故 g( ) = | | 没有无偏估计 11设总体 X 服从正态分布 N ( , 2),X1, X2, , Xn为来自总体 X 的样本,为了得到标准差 的估计量, 考虑统计量: = = n i i XX n Y 1 1 | 1 , = = n i