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1、误差理论与测量平差基础,Errors Theory and Foundation of Surveying Adjustment,2,课程结构,Ch1,Ch2,Ch3,Ch8,Ch5,Ch6,Ch7,Ch9,Ch10,Ch4,3,Ch1 绪论,教材 误差理论与测量平差基础 误差理论与测量平差基础习题集 武汉大学出版社,4,Ch1 绪论,怎样学好测量平差,预习、复习加习题练习,独立思考并推导公式,平差思想和解题思路,高数 线代 概率,习题练习,公式推导,数学基础,习题练习,公式推导,平差思想,平差思想,数学基础,5,Ch1 绪论,为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现 照错目标 读错数
2、 如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。 2. 有多余观测，如何消除不符，求出最优值？,6,Ch1 绪论,测量平差的任务和意义 任务 1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值； 2）评定结果的精度。 意义 所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测绘科学和技术的基础和灵魂。,7,Ch1 绪论,测量平差的作用和地位 1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求出最佳估值。 2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法的主要补充。 3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、GPS测量原理、变形监测等。 4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士
3、阶段的重要课程。,8,Ch1 绪论,课程结构 参见目录,9,Ch1 绪论,基本概念 误差 对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。 测量平差 测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。,10,1.1 观测误差,一、误差来源 测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。 观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。 外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。,11,1.1 观测误差,二、误差分类 偶然误差 在相同误差在大
4、小和符号上表现出偶然性 系统误差 误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化 粗差 即错误,12,1.1 观测误差,13,1.2 测量平差的研究对象,研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差，或两种兼有。 平差问题的解决思路：,14,1.3 测量平差简史及发展,1794年，C.F. Gauss从概率统计角度提出了最小二乘法 1806年，A.M. Legendre从代数角度提出了最小二乘法 1809年，Gauss在天体运动的理论一文中发表，称为Gauss- Legendre方法 1912年，A.A. Mar
5、kov，对最小二乘原理进行了证明，形成数学模型（函数模型+随机模型） 近代发展 现在的国内相关专家,15,1.4 本课程的任务和内容,本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶然误差的观测值。 （1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估计；权。 （2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。 （3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算模型及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。 （4）测量平差中的统计假设检验方法。,16,本章结束！,17,Ch2 误差分布与精度指标,18,2.1偶然误差的规律性,基本假设：系统误差已消
6、除，粗差不存在，即观测误差仅为随机误差。 偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进行统计具有明显的规律。 寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析)： 1、统计表 2、直方图 3、误差分布,19,统计表,例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,20,所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1,直方图,2.1偶然误差的规律性,21,偶然误差的特性 由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性： 1、有界性：在一定的观
7、测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零 2、聚中性：绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大； 3、对称性：绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 4、抵偿性：偶然误差的理论平均值为零，即,2.1偶然误差的规律性,22,例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,23,0.475,提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。,图
8、1,图2,24,当偶然误差的个数 时，偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。,2.2正态分布,25,由概率论知，该曲线是正态分布的概率分布曲线。高斯在研究误差理论时最先使用了这一分布，所以正态分布又称为高斯分布。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为： 式中： 和 为参数。,2.2正态分布,26,由密度函数 知，偶然误差 为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望：,2.2正态分布,27,作变量代换，令 得 因,2.2
9、正态分布,28,2.2正态分布,所以 再求 的方差 。 同样作变量代换，可得：,29,由以上推导知，参数 和 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们确定了正态分布曲线的形状。 由 知，随机误差 的数学期望等于零。 由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点在横轴上的坐标为 方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标。,2.2正态分布,30,2.3精度及其衡量精度指标,观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。 1、精度：指误差分布的密集或离散程度，可利用方差协方差阵描述。 2、准确度：描述系统误差，可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即： 3、精确度
10、：是精度和准确度的合成，描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即： 当 ，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。,31,精度、准确度和精确度的形象描述,2.3精度及其衡量精度指标,精度,准确度,精确度,32,4、衡量精度的指标 精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其高低。为此，人们希望通过一个数字来偶然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如： 4.1、方差和中误差 设在相同的观测条件下得到一组独立
11、观测误差 ，则其方差定义为：,2.3精度及其衡量精度指标,33,2.3精度及其衡量精度指标,方差的算术平方根定义为中误差，即 在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值： 和,34,4.2、平均误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 ，则其平均误差由 之绝对的数学期望定义，即： 因为 所以,2.3精度及其衡量精度指标,35,由上式知，不同的 ，对应着不同的 ，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差 也可作为衡量精度的指标。 在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值： 也可由下式计算之：,2.3精度及其衡量精度指标,36,4.3、或然
12、误差 当观测误差出现在 之间的概率等于二分之一时，称 为或然误差（如图），即 令 ，则有 由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系：,2.3精度及其衡量精度指标,37,2.3精度及其衡量精度指标,中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，但由于 当n不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响 中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标） 平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。,38,2.3精度及其衡量精度指标,4.4、极限误差 由中误
13、差的定义知，中误差是一组同精度观测误差的平方的平均值的平方根的极限。既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢？由下图，通过积分,39,2.3精度及其衡量精度指标,可得观测误差 出现在给定区间 内的概率为：,作变量代换，得k=1，2，3时的概率分别为：,上式表明：绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%。即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因
14、此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差，用 表示。,40,4.5、相对误差 观测值的中误差与观测值本身之比，称为相对误差，常用表示 。,2.3精度及其衡量精度指标,41,本章小结,1、几个基本概念及相互关系,42,2、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。 3、基本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服从正态分布的随机误差。 4、统计规律 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大； 绝对值相
15、等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零。,本章小结,43,本章结束！,44,Ch3协方差传播律及权,45,3.1观测向量及其方差协方差阵,作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多个观测值所构成的观测向量。 因此，需要引入观测向量矩阵和方差协方差矩阵。 一、协方差 对于变量X、Y，其协方差为：,46,3.1观测向量及其方差协方差阵,二、协方差阵 设有n维观测向量为 则其方差协方差阵定义为： 特点：对称；正定；互不相关时为对角矩阵，对角线元素相等时，为等精度观测。,47,3.1观测向量及其方差协方差阵,三、互协方差阵 设有两组观
16、测向量为， n维的X，r维的Y。则，它们的互协方差阵为：,思考：若求DZZ？,48,3.2协方差传播律,1、协方差传播律的作用 计算观测向量函数的方差协方差矩阵，从而评定观测向量函数的精度。 2、预备公式 当随机变量 两两独立时，有,49,3.2协方差传播律,3、观测向量线性函数的方差 设观测向量X及其期望和方差为： 观测向量线性函数为 式中： 为常数。,50,3.2协方差传播律,Z的期望为 Z的方差为 即 展开成纯量形式：,51,例题1 例题2 例题3,52,3.2协方差传播律,4、多个观测向量线性函数的协方差阵 若观测向量的多个线性函数为 则令,53,3.2协方差传播律,于是，观测向量的多个
