第一章离散时间信号与系统教程文件

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1、第1章 离散时间信号与系统,1.1 离散时间信号序列 1.2 连续时间信号的采样 1.3 离散时间系统时域分析,1.1 离散时间信号序列,离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的一个序列。它既可以是实数也可以是复数。一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为x(n)或x(n)。尽管独立变量n不一定表示“时间”（例如，n可以表示温度或距离），但x(n)一般被认为是时间的函数。因为离散时间信号x(n)对于非整数值n是没有定义的，所以一个实值离散时间信号序列可以用图形来描述，如图1-1所示。横轴虽为连续直线，但只在n为整数时才有意义。纵轴线段的长短代表各序列值的大小。,图 1-1

2、 离散时间信号x(n)的图形表示,离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下：,然而，并不是所有的离散时间信号都是这样获得的。一些信号可以认为是自然产生的离散时间序列，如每日股票市场价格、 人口统计数和仓库存量等。,图 1-2 图1-1序列x(n)的延时,2 序列的翻褶 如果序列为x(n), 则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如图1-3(a)、(b)所示。,图 1-3 序列的翻褶 (a) x(n)序列； (b) x(-

3、n)序列,3 序列的和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。 和序列z(n)可表示为,4 序列的乘积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。 乘积序列f(n)可表示为,5 序列的标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为,6 累加 设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为,它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。,7 差分运算 前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n) 后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1) 由此得出 x(n)=x(n

4、-1),1.1.2 几种常用序列 1 单位脉冲序列(n),这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图1-4所示。,(1-1),图 1-4 (n)序列,这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。但是， 在连续时间系统中，(t)是 t=0 点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系统中的(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅度是1， 是一个有限值。,2 单位阶跃序列u(n),如图 1-5 所示。它很类似于连续时间信号与系统

5、中的单位阶跃函数u(t)。,(1-2),图 1-5 u(n)序列,(n)和u(n)间的关系为,这就是u(n)的后向差分。 而,令n-m=k，代入此式可得,这里就用到了累加的概念。,(1-3),(1-4),(1-5),3矩形序列RN(n),(1-6),矩形序列RN(n)如图1-6所示。,图 1-6 RN(n)序列,RN(n)和(n)、u(n)的关系为:,(1-7),(1-8),4实指数序列,式中，a为实数。当|a|1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的，如图1-7所示。,图 1-7 指数序列 (a) |a|1; (c) a=-|a|,5 正弦型序列 x(n)=A sin(n0+) (1-1

6、0) 式中: A为幅度; 为起始相位; 0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。 0=0.1时, x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一次循环。,图 1-8 正弦序列(0=0.1),6 复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。 复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。 复指数序列是最常用的一种复序列：,(1-11a),或,(1-11b),式中，0是复正弦的数字域频率。,对第一种表示，序列的实部、虚部分别为,如果用极坐标表示，则,因此有：,1.1.3 序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足,(1-12),则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。,现在讨论上述正

7、弦序列的周期性。 由于,则,若N0=2k, 当k为正整数时，则,这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2k/0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。 （1） 当2/0为正整数时，周期为2/0，见图1-8。 （2） 当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则,式中，k, N为互素的整数，则 为最小正整数， 序列的周期为N。,（3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。 同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。 下面，我们来进一步讨论，如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，

8、那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？,设连续正弦信号xa(t)为,这一信号的频率为f0，角频率0=2f0，信号的周期为T0=1/f0=2/0。 如果对连续周期信号xa(t)进行采样，其采样时间间隔为T， 采样后信号以x(n)表示，则有,如果令0为数字域频率，满足,式中, fs是采样频率。可以看出，0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2，或说是连续正弦信号的角频率0对采样频率fs的相对频率。用0代替0T， 可得,这就是我们上面讨论的正弦型序列。,下面我们来看2/0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正

9、弦型序列的周期性的条件意味着什么？,这表明，若要2/0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍；若要2/0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有,(1-13),式中，k和N皆为正整数，从而有,即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。,1.1.4 用单位采样序列来表示任意序列 用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的。 设x(m)是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即,(1-14),由于,则,因此，式（1-14）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。,1.1.5 序列的能量 序列x(

10、n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和， 即,(1-15),1.2 连续时间信号的采样,在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换， 信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的。要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。,采样器可以看成是一个电子开关，它的工作原理可由图1-9（a）来说明。设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通， 实现一次采样。如

11、果开关每次闭合的时间为秒，那么采样器的输出将是一串周期为T，宽度为的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着在这段时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如图1-9（b）所示，以xp(t)表示采样输出信号，它的结构如图1-9（d）所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲信号，如图1-9（c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因而有,一般开关闭合时间都是很短的，而且越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号在离散时间点上的瞬时值。当T时，采样脉冲就接近于函数性质。,图 1-9 连续时间信号的采样过程,1.2.1

12、 理想采样 理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即0的极限情况。此时，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)，如图 1-9(e)所示。这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1。采样后，输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t)在采样瞬间的幅度。理想采样过程如图1-9（f）所示。 冲激函数序列s(t)为,(1-16),以 表示理想采样的输出，以后我们都以下标a表示连续信号（或称模拟信号），如xa(t)；而以它的顶部符号（）表示它的理想采样，如 。这样我们就可将理想采样表示为,(1-17),把式（1-16）代入式（1-17），得,由于(t-nT)只在t=nT时不

13、为零，故,(1-18),(1-19),1.2.2 理想采样信号的频谱 我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生了什么变化。 由于在连续时间信号与系统中已学过，式（1-17）表示时域相乘， 则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。 所以由式（1-17）可知， 若各个信号的傅里叶变换分别表示为:,(1-20),(1-21),(1-22),则应满足,现在来求S(j)=Fs(t)。 由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即,(1-23),此级数的基频为采样频率，即:,一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，s为角频率，单位为弧度/秒; 习惯上都统称为“频率”。 它们的区

14、别由符号f及来识别。,根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得,以上结果的得出是考虑到在|t|T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲(t)，其他冲激(t-nT)，n0 都在积分区间之外，且利用了以下关系:,因而,(1-24),由此得出,由于,(1-25),所以,(1-26),将式（1-26）代入式（1-23）可得,根据冲激函数的性质，可得,(1-27),或者,(1-28),由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率s=2/T 为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓，如图1-10所示。也就是说，理想采样信号的频谱， 是Xa(j)的周期延拓函数，其周期为s，而

15、频谱的幅度则受1/T加权，由于T是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图1-10（a）所示，且最高频谱分量h不超过s/2，即,(1-29),那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图1-10（c）所示。 这时采用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器， 就可得到不失真的原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。,图 1-10 时域采样后， 频谱的周期延拓 （a）原始限带信号频谱; （b） 采样函数频谱; （c）已采样信号频谱（s2h

16、）;（d）已采样信号频谱（s2h）,如果信号的最高频谱h超过s/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1-10（d）所示。由于Xa(j)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图1-10中我们将Xa(j)作为标量来处理。 我们将采样频率之半（s/2）称为折叠频率，即,它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。,(1-30),图1-11说明了在简单余弦信号情况下频谱混叠的情况。在图1-11（a）中，给出该余弦信号,(1-31),的傅里叶变换Xa(j)。,(1-32),图（b）是在0s/2时， 的傅里叶变换。（d）和（e）则分别对应于0/T时低通滤波器输出的傅里叶变换，在没有混叠时（(b)和(d)），恢复出的输出ya(t)为,在有混叠时，则是,(1-33),这就是说，作为采样和恢复的结果，高频信号cos0t已经被当作和低频信号cos(s-0)t是一样的东西被冒名顶替了。这个讨论就是奈奎斯特采样定理的基础。,图 1-11 一个余