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1、第三章 微分中值定理及其应用,3.1 费尔马引理与函数最值,3.2 罗尔中值定理及应用,一、费马引理,(费马引理),则,设 f (x)在点 的某邻域 内有定义,且在 处可导,注：导数为零的点称为函数的驻点.,证,设对于,有,由极限的保号性,推论 (最值的必要条件),设,如果 存在,如果 在a, b上连续, 则 在a, b上一,定有最大值和最小值.,由最值的必要条件, 最大、最小值点只可能 是的驻点、不可导点或区间的端点.,求函数最大值与最小值的一般步骤:,1. 求驻点和不可导点;,2. 求出区间端点及驻点和不可导点的函数值, 比较大小, 其中最大者就是最大值,最小者就 是最小值;,3. 在实际
2、问题的应用中, 问题本身可以保证目标 函数的最大值或最小值一定存在, 我们通常用这 种思想求取应用问题的最值.,例1 求函数 在-1, 4上的最大值,解,计算,与最小值.,(-1, 4)内驻点,比较得, 最大值 最小值,解,得,例2 求内接于球的圆柱体的最大体积, 设球的 半径 R.,设圆柱体的高为2h, 底半径为 r, 体积为V,圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点,就是最大值点,最大体积为,令,得,(舍去负值),唯一驻点,定理3.2 (罗尔定理),(1) 在闭区间a, b上连续;,(2) 在开区间(a, b)内可导;,(3),使得,3.2 罗尔中值定理及其应用,证,若函数 f (x) 满足
3、:,必有最大值M和最小值m.,由费尔马引理,推论: 可微函数 的任意两个零点之间至少有 的一个零点,若定理条件不全具备,结论不一定成立.,例1 证明 是方程 的唯一实根.,证,矛盾.,由罗尔定理,原命题得证.,使得,对可导函数 f(x),之间,在方程f (x)=0的两实根,推论,至少存在方程,的一个实根.,例,证,例2 设常数 满足:,试证方程,分析：,注意到,在(0, 1)内存在一个实根.,证 设,且,由罗尔定理,即,在(0, 1)内可导,在0, 1上二阶可导, 且,则在 内至少存在一点,例3 若,证,使得,使得,上使用罗尔定理,使得,使用罗尔定理,两种常用的构造辅助函数的方法：,1. 常数
4、k 法构造函数,基本思路是令待证等式中的常数为k，,通过,恒等变形将含有的式子写成 的形式，,然后用罗尔定理,则 就是需要的辅助函数,进行证明.,例4 设,分析,证,令,罗尔定理,整理得,使得,故,即,2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数,然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数 就是我们需要的辅助函数.,因为等式中出现的中值 一定是对某个函数 使用中值定理得到的,因此, 可以首先把 还原为 x，,如果待证等式出现 的形式，,则可以考虑形如 的辅助函数.,问题转化为证,设辅助函数,在0, 1上用罗尔定理,使得,即有,例5 设,证,分析:,作业,习题 3.2(116页),2. 3. 4. 5. 7.(1) 8.(1),习题 3.1(111页),1.(2),
