贝努里概型课件

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1、(二)独立试验序列概型,进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性 都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这n次 试验是相互独立的。,在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序 列概型。,若在每次试验中只关心某事件A发生或不发生，且每次 试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次试验中事 件A发生的概率都是p(0p1)。,这样的n次重复试验称为n重贝努里试验。,例6 一批产品的废品率为p,(0p1)重复抽取n次， 求有k次取到废品的概率。,解：设所求事件的概率为P(B),事件B由下列m个互 不相容的事件组成：,B1=(废，废，正，正),B2=(废，废，正，废，正，正),Bm=(正

2、，正，废，废),P(B1)=P(B2)=P(Bm)=pk(1-p)n-k,一般地，有如下的定理：,解：设B表示至少有两件一级品,1-P10(0)-P10(1),例7 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现 在检查了10件，求至少有两件一级品的概率。,例8 某药物对某病的治愈率为0.8，求10位服药的 病人中至少有6人治愈的概率。,解：设A表示至少有6人治愈。,P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10),而正好有8人治愈的概率为,=0.302,例9 在四次独立试验中，A至少出现一次的概率 为0.59，求A至多出现一次的概率。,解：设在一次试验中A出现的概率为p,则

3、A至少出现一次的概率为,故(1-p)4=0.41,1-p=0.8,p=0.2,A至多出现一次的概率为：,P4(0)+P4(1),=0.82,例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？,解法一：,应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。,即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。,甲最终获胜的概率为,P4(2)+P4(3)+P4(4),解法二：,一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。,甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为,甲方在第四局结束赌博获胜的概率为,甲方在第五局结束赌博获胜的概率为,故甲方最终获

4、胜的概率为,P(B3+B4+B5),=P(B3)+P(B4)+P(B5),赌注应按11：5的比例分配。,例11 (赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选 手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两 种赛制中，选择哪个对自己更有利。,解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为,P5(3)+P5(4)+P5(5),=0.6826,在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为,P3(2)+P3(3),=0.648,甲应选择五局三胜制。,若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件A、B相互独立。,如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验是独立的。如：,(1)

5、 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有3件次品，从中任取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。,1.6 贝努里（Bernoulli)概型,如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。,3. 贝努里公式,定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发生的概率为p，0p1，则在n次试验中事件A恰好发生k次（0kn）的概率为,其中 p + q = 1。,2. n重贝努里试验,如果E只有：A及 ，且,P(A) = p，

6、P( ) = 1p = q （ 0p1） 将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。,此式刚好是二项式(p+q)n的展开式中的第k+1项，故亦称为二项概率公式。,显然,证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次不发生，由试验的独立性，有,在n次试验中，A发生k次的方式有,种。且任何两种,方式都是互不相容的，于是有,例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列问题： (1) 恰有k粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 解 恰有k粒种子出苗的概率为,(3) 要保证出苗率为98% ，即要使 1- P6

7、(0) 0.98 解得 n = 4。,例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒，求解下列问题： (1) 恰有k粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 解 (2) 至少有一粒出苗的概率为,例2 在保险公司里有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取20000元，问（不计利息）,（1）A=保险公司亏本的概率是多少？,（2）B=保险公司每年获利不少于100000元的概率是多少？,解 若一年死亡X人，则保险公司支

8、出20000X（元），一年中保险公司收入为2500120=300000（元），于是,（1）当 20000X300000, 即X15时，保险公司亏本，故 P(A)=P(X15)=1-P(X15).,把“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次试验，于是把2500人参加保险看作2500次独立重复试验，则,即保险公司亏本的概率约为10万分之6.9，不足万分之一。,（2）B等价于事件300000-20000X100000，即X10，故,即保险公司每年获利不少于100000元的概率在98%以上。,例3 对某厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中有4件废品，问我们能

9、否相信此工厂出废品的概率不超过0.005？,解 假设此工厂出废品的概率为0.005，一件产品要么是废品，要么不是废品，因此取200件产品来观察废品数相当于200次独立重复试验，所以200件产品中出现4件废品的概率为,现在小概率事件“检查200件产品出现4件废品”竟然发生了，因而有理由怀疑“废品率为0.005”这个假定的合理性，认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不可信的。,例4 设随机试验E中,事件A出现的概率0P(A)1，试证不断独立重复试验时，A迟早会出现的概率为1,证 设Ai=A在第i次试验出现， i=1,n,P（Ai）=r ，前n次试验中，A都不出现的概率为,因此，在n次试验中，A

10、至少出现一次的概率为,说明在不断独立重复试验时, A迟早会出现的概率为1，即使A是小概率事件，也迟早要发生。,贝努里概型是概率中研究得最多的一种数学模型，尽管比较简单，却概括了许多实际问题。在农业科学试验中应用也很广泛，如施药后害虫的死或活，植株的罹病或不罹病，育种分离世代中植株的选择等。本概型将在下一章继续研究。,一.独立随机试验,5 n重贝努里概型,二.n次相互独立试验,5 n重贝努里概型,返回主目录,三.n次相互独立试验的例子,掷n次硬币，可看作是n次独立试验； 某射手对同一目标射击n次，可看作是n次独立试验； 观察n个元件的使用寿命，可看作是n次独立试验,返回主目录,5 n重贝努里概型

11、,例 1,三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标 的概率分别为0.3，0.6，0.8若有一门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为0.9试求目标被摧毁 的概率 解：设：B = 目标被摧毁 ,返回主目录,5 n重贝努里概型,由全概率公式，得,而,返回主目录,5 n重贝努里概型,所以,返回主目录,5 n重贝努里概型,四.Bernoulli 试验,如果随机试验 E 只有两个结果，则称E为Bernoulli试验,Bernoulli 试验的例子,掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果， 因此“掷一

12、枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验 掷一颗骰子，有六种结果但如果我们只关心“出现六 点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也 可以看作是Bernoulli试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一次射击”是Bernoulli试验 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli试验,Bernoulli 试验的例子,返回主目录,5 n重贝努里概型,n重Bernoulli 试验,若独立重复地进行n次Bernoulli试

13、验，这里“重复”是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中“成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重Bernoulli 试验,n重Bernoulli 试验的例子,掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过1

14、00辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验若独立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli试验,n重Bernoulli 试验的例子,返回主目录,5 n重贝努里概型,n重Bernoulli 试验中的样本点,n重Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 2,将一枚硬币掷 5 次，可看作是一5重Bernoulli试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,n重Bernoulli 试验中基本事件的概率,是一个样本点,设在n重Bernoulli 试验中，,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 3,将一枚硬币掷 5 次，可看作是

15、一5重Bernoulli试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率,设在n重Bernoulli 试验中，,现考虑事件,返回主目录,5 n重贝努里概型,n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率,而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知样本点,返回主目录,5 n重贝努里概型,注 意,由二项式定理，我们有,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 4,设在N件产品中有M件次品，每次从中任意取出一 件，有放回地取n次试求取出的n件产品中恰有k 件次品的概率 解： B= 取出的n件产品中恰有k件次品 每取一次只有两种结果：,因此每取一次产品可看作是一次Be

16、rnoulli试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 4（续）,并且，,因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重 Bernoulli试验由前面的讨论，可知,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 5,一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10 件试求下列事件的概率： B= 取出的10件产品中恰有4件次品 C= 取出的10件产品中至少有2件次品 D= 取出的10件产品中没有次品 解： 取10件产品可看作是一10重Bernoulli试验,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 5（续）,所以，,返回主目录,5 n重贝努里概型,例 6,对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均 为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命 中一次目标的概率不少于0.95？ 解： 设需进行n次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95 B= n次射击至少命中一次目标 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验,返回主