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1、基础知识 一、函数的值域的定义 在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 ,函数值,值域,二、基本初等函数的值域 1ykxb(k0)的值域为 . 2yax2bxc(a0)的值域是 当a0时，值域为 ； 当a0时，值域为 . 3y (k0且x0)的值域是 ,R,y|yR且y0,4yax(a0，且a1)的值域是 5ylogax(a0，且a1)的值域是 . 6ysinx，ycosx，ytanx的值域分别为 、 、R.,(0，),R,1,1,1,1,四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有： 1直接法从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取
2、值范围，如y(x3)的值域为 2配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y4x2x的值域为 ,2，),(0，),3反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域形如y (a0)的函数的值域，均可使用反函数法此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，如：y 的值域为 ,(1,1),4判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域形如y (a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解如y 的值域为 ,2,1,5
3、换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形如yaxb (a、b、c、d均为常数，且a0)的函数常用此法求解，如yx 的值域为 ,1，),6不等式法利用基本不等式：ab2 (a、bR)求函数的值域用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，如yx 的值域为 ,(，44，),7单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域形如y 的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为 , ) ,8求导法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如yx3x，x0,2的值域为 9数形结合法当一个函数图象可作时，通
4、过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如y 的值域为 ,0，),易错知识 一、值域求解失误 1求ysin2xsinx1的值域结果为，)对吗？ 答案：，3 2已知函数f(x)log2(x2axa)的值域为R，则实数a的取值范围_ 答案：(，40，),二、忽视定义域对值域的制约作用而失误 3已知f(x)2log3x，其中x1,9，当x_时，函数yf(x)2f(x2)有最大值，最大值为_ 答案：x313,解析：先求出函数yf(x)2f(x2)的定义域： 1x3. 函数的定义域为1,3， 又yf(x)2f(x2)(2log3x)222log3x(log3x)
5、26log3x6(log3x3)23. 1x3.0log3x1. 则x1时有最小值6，当x3时有最大值13.,三、区分求函数值域的方法 4求函数yx 与yx 的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为_，值域为_；后者采用的方法为_，值域为_,答案：换元法(， 三角换元法1， 解析：yx ，令 t，x1t2 yt2t1，t0，) y(， ， yx ，令xsin， ， ysincos sin( )， y1， ,回归教材 1(教材P1016题改编)函数y (xR)的值域是() A(0,1B(0,1) C0,1) D0,1) 解析：1x21 (0,1 答案：A,2函数y x2x1(x0
6、)的最小值为() A.B2C1D3 解析：y (x1)2 ，x0 y 1，故选C. 答案：C,3值域是(0，)的函数是() Ayx2x1 By( )1x Cy3 1 Dy|log2x2| 解析：A中y ，)，C中y1，D中y0，故应选B. 答案：B,5(2008重庆)函数f(x) 的最大值为() A.B.C.D1 解析：将解析式整理，得y ，利用均值不等式求得f(x)的最大值为 . 答案：B,4(教材P10213题改编)函数y 的值域为() A(0,1 B0,1) C(0,1) D0,1 答案：B,【例1】求下列函数的值域 (1)y4 ； (2)y2x ； (3)yx .,解析(1)(配方法)
7、：由32xx20，得1x3. y4 ， 当x1时，ymin422. 当x1或3时，ymax4. 函数值域为2,4 (2)(换元法)：令t (t0)，则x yt2t1(t )2 ， 当t 即x 时，ymax ，无最小值 函数值域为(， ,3)(三角换元法)函数的定义域是x|1x1 设xsint， t ，则yx 化为ysintcost，y t t ， 1sin(t ) ， y1. 原来的函数的值域是 ，1,总结评述对于形如yax2bxc(a0)或求二次复合函数的值域可用配方法 对于形如yaxb 的函数令t ，x 且t0，使之变形为二次函数，再利用配方，对于含 的结构的函数，可利用三角代换，令xac
8、os，0，或令xasin， ， 对形如y 等一些结构简单的函数，可通过直接法,求下列函数的值域： (1)y( )|x|； (2)ysin2x4cosx1； (3)y2x5 .,解析：(1)|x|0,0( )|x|1， 值域为(0,1 (2)ysin2x4cosx1cos2x4cosx2 (cosx2)26由1cosx1. 3cosx21 1(cosx2)29 3(cosx2)265 3y5， 值域为3,5,【例2】求下列函数的值域： (1)y ；(2)y . 解析(1)解法一：(反函数法)由y 解出x，得x ，2y10，函数的值域为y|y ，且yR. 解法二：(分离常数法)y ， y ，故函数
9、的值域为y|y 且yR,(2)(判别式法)：由y 得 yx23x4y0，当y0时，x0，当y0时，由0得 y ，函数定义域为R， 函数y 的值域为 .,总结评述反函数的定义域即为原函数的值域，形如y (a0)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法,把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法形如y (a1，a2不同时为0)的函数的值域常用此法此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式0解得，但要注意判别式中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到方法去解决,求下列函数的值域
10、解析：(1)解法1：(化为真分式)：,解法2：(利用反函数法)： 由y 得2x 0，所以y(1,1) (2)由y 变形得(y1)x2(y1)xy30 当y1时，此方程无解； 当y1时，xR (y1)24(y1)(y3)0 解得1y ，又y1，1y . 故函数的值域为y|1y .,【例3】(2007重庆模拟)已知：f(x)3xx2|x|(xR. (1)求f(x)的最大值； (2)是否存在实数a，b使f(x)在区间a，b上的取值范围为 ,解析(1)f(x)3xx2|x| 当x0时，f(x)33x23(1x)(1x)，所以当x(0,1)，f(x)0，所以x(0,1)时f(x)递增当x(1，)，f(x
11、)0，所以x(，0)时f(x)递增 因为函数f(x)在x0处连续，所以x(，1)时f(x)递增，x(1，)时f(x)递减 所以f(x)maxf(1)2.,(2)由 ab0. 0ab时，由(1)可知：x(0，)时，f(x)maxf(1)2，所以 2a1， 即1ab，由(1)可知：xa，b时f(x)递减， 所以 即a，b是方程f(x) 的两根,3xx3 x43x220 x11；x2 ，所以a1，b . ab0时，由(1)可知：x(，0)时f(x)递增， 所以 相减得3a2abb2 ；相加得3a2abb2 ，所以ab0，无解,综合，存在a1，b 使f(x)在区间a，b上的取值范围为 总结评述本题考查
12、了导数及其运用，以及函数值域的讨论,如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大,解析：本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查考生运用导数知识解决实际问题的能力 设被切去的全等四边形的一边为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为12x，高为 x，,所以正六棱柱的体积 V6 (12x)2 x(00，V是增函数； 当x( ， )时，V0，V是减函数 当x 时， V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为 . 答案：,1求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种基本方法的基础上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法解决 2求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用 3遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题时，应对字母进行合理的分类讨论,请同学们认真完成课后强化作业,
