第二章 经典的连续系统仿真建模方法学

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1、第二章 经典的连续系统仿真建模方法学,本章教学目的及要求 l 掌握连续系统数值积分法的基本原理 2 掌握Euler法和Runge-Kutta法的概念和方法 3 掌握线性多步法的概念和方法 4 掌握数值积分法稳定性分析方法 5 熟悉数值积分法的选择方法,第二章 经典的连续系统仿真建模方法学,2.1 离散化原理及要求 2.2 Runge-Kutta积分法 2.3 线性多步法 2.4 数值积分法稳定性分析 2.5 数值积分法的选择和计算步距的确定,2.1 离散化原理及要求,一 离散化原理 1 问题求解的两种方法 （1）仿真方法-通常是离散的数值解（仅能说明一些特定的状态的，如果要了解其他状态下的情况

2、，就必须在其他给定条件下，重新进行仿真过程） （2）解析方法-得到的是更为一般的系统解的表示形式（可以表示系统所有可能的状态） （3）适用范围-对于复杂系统而言，求解析解是很复杂的，大多数情况下，求不出解析解，因此必须借助于数值解法，对连续系统进行仿真。,2 相似原理 设系统模型为： ， 其中：u(t)为输入变量，y(t)为系统变量； 令仿真时间间隔为h，离散化后的输入变量为 系统变量为 ，tn=nh。 若 ， 即 ， （对所有n=0,1,2,），则可认为两模型等价。,基本要求 （1）稳定性：不改变原系统的稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。 若原连续系统是不稳

3、定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的。 （2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是： 绝对误差准则： 相对误差准则： 其中 规定精度的误差量。,3 数值方法的基本数学描述 将仿真系统表示成1阶微分方程组或状态方程的形式 若1阶微分方程及其初值为： 式中Y为n维状态变量，F(t,Y) n维向量函数。 设方程的在tn处的形式上的连续解为： 希望能够找到一个近似公式： 来近似表示，其中: Yn为准确值Y(tn)的近似值；Qn是准确积分值的近似值。,4 数值解法的含义 （1）寻求初值问题真解在一系列离散点: t1t2tn , 的近似解 Y1,Y2, ,YN , (即数值解) 相邻两个

4、时间离散点间隔: hn=tn+1-tn称为步长，通常 hn=h（定值）。 （2）数值积分法的主要问题就是对函数f(t,y)的数值积分问题（如何求出该函数定积分的近似解）。 （3）连续系统数值积分方法（或称为数值解法）就是利用数值积分方法，对常微分方程（组）建立离散化的数学模型差分方程，并求出其数值解。,5 主要步骤 (1) 将连续变量问题用数值积分方法,转化为离散的差分方程的初值问题； (2) 根据已知的初始条件y0，逐步递推计算出以后各个离散点上的数值解yi(i=1,2, ) 6 主要分类（不同的递推算法） 单步法，多步法和预估-校正法（不同的系统求解精度、速度和稳定性）,二 Euler 法

5、 Euler法是最简单的一种数值积分方法。 特点：导出简单 几何意义明显，便于理解 计算精度比较差,1 Taylor级数展开 有如下标量微分方程： 若y(t)=g(t,y)为其解析解，将y(t)展开成Taylor级数： 从而： 将上式写成差分方程：,2 矩形近似解法 对微分方程在区间上求积分，得： 如果把积分间隔取得足够小，使得在tn,tn+1上f(t,y)可以近似地看成f(tn,yn)，就可以用矩形面积近似代替该区间上的曲线面积，有： 即： 将曲线f(t,y)看成是阶梯函数,3 切线近似 在tn的一个小邻域(tn- , tn+ )内，曲线y(t)可以用tn处的切线来表示，如图，,y(t)在t

6、n处的斜率和切线方程分别为：,取tn+1=tn+t,使得点tn+1与tn非常靠近，利用上述切线方程可获得 tn+1处y(t)的近似值： 差分方程形式为：,4 Euler公式 使用方法：只要给定初始条件y0和步长h,就可以根据f(t0,y0)算出y1，再由y1算出y2，逐次递推，计算出y3,y4,。 特点: (1) 公式公式中任一个新的数值解yn+1都是基于前一个数值解及其导数f(tn,yn)求得的。 (2) 方法简单、计算量小 (3) 精度低,例 对于线性微分方程 试采用Euler法进行计算，取步长h=0.2。,三 改进Euler 法 1 提出目的：提高Euler公式的精度 2 改进的途径：使

7、用梯形面积来代替每一个小区间的曲线面积（如图） 3 公式的推导 （1）计算曲边梯形的面积 （2）计算直边梯形的面积,（3）在步长h比较小情况下，用直边梯形面积代替曲边梯形面积，得到差分方程： （4）计算中的预估和校正 原因：差分方程中右边含有待求量yn+1,公式无法起步计算。 解决方法： A 每次计算时先用Euler法计算出y(tn+1)的近似值ypn+1作为初值； B 将ypn+1代入原微分方程，计算出函数fn+1的近似值 fpn+1=f(tn+1, ypn+1)； C 利用梯形公式，求出修正后的ycn+1。 D 重复B，C过程，直到ycn+1和yc-1n+1之间的差值在可接受范围内。,4

8、改进的Euler公式(预估-校正法) 式中第一项为预估公式，第二项为校正公式 特点：采用tn,y(tn)和tn+1,y(tn+1)两点斜率平均值的结果，利用了两点信息，从而提高了计算精度。,2.2 Runge-Kutta积分法,提出的原因：直接采用Taylor级数展开方法，需要计算函数y(t)在某一展开点的高阶导数，使用起来不方便。,基本思想：用几个点上的y(t)的一阶导函数值的线性组合来近似代替y(t)在某一点的各阶导数，然后利用Taylor级数展开式确定线性组合中各加权系统-间接利用Taylor级数展开式 目的：1 避免计算高阶导数； 2 多取几项，提高数值积分的精度,一阶微分方程： 1

9、假定y(t)是微分方程的解，将y(t)展开成Taylor级数 式中： 2 若令：,2.2.1 基本原理,3 将y(t+h)写成线性组合形式： 式中r称为阶数，bi待定系数，ki由下式决定： 且定义a1=c1=0。 4 对y(t+h)的线性组合形式进行讨论 （1）r=1 为Euler公式（是一个特例）,（2）r=2， 由ki的取值公式可得到： 将ft+c2h,y(t)+a1k1h在点(t,y)展开成Taylor级数： 将k1和k2的取值代入线性组合公式，有：,将上式同*式逐项比较（对应系数相等）， 有：,得到一个不定方程组，有无穷多个解，若a1=1,b1=b2=0.5,c2=1，有： 依照上述过

10、程，可以得到r=3,r=4等情况下的对应公式。,特 点,1 单步法，可以自启动，存储量小 在计算 时只用到，而不直接用 等项。 2 可变步长 步长h在整个计算中并不要求固定，可以根据精度要求改变 但是在一步中，为计算若干个系数ki，则必须用同一个步长h。 3 速度与精度 四阶方法的h可以比二阶方法的h大10倍，每步计算量仅比二阶方法大一倍 高于四阶的方法由于每步计算量将增加较多，而精度提高不快。 4 形式多样,1 误差的两个准则 绝对误差准则： 相对误差准则： 2 RK法的误差估计和步长控制的基本思路 每积分一步都设法估计出本步的计算误差 ，判断是否满足允许误差E，再选择相应的步长控制策略，调

11、整步长，再作下一步积分运算。,2.2.2 误差估计与步长控制,3 误差估计（单步法） 方法：找到另一个低阶（一般是低一阶）的RK公式，两个公式计算结果之差就可以看作是误差。 常用的计算公式对： a RKM（Merson默森，1957）3-4法 四阶公式与三阶公式对： 两式中的k1,k3,k4相同，是一个4阶精度，3阶估计误差的公式，每次需要计算5次f，计算量较大。,b RKS(Shampine夏普勒,1978)3-4法 四阶公式与三阶公式对： 4阶精度，3阶估计误差的公式，每次需要计算4次f。,C RKF（E.Fehlberg，1969）4-5法 五阶公式与四阶公式对： 5阶精度，4阶估计误差

12、的公式，每次需要计算6次f。,4 步长控制 a 加倍-减半法 设定一个最小误差限和最大误差限，当估计的局部误差大于最大误差时将步长减半，并重新计算计算这一步；当误差在最大误差与最小误差之间时，步长不变；当误差小于最小误差时，将步长加倍。 每步的局部误差通常取以下形式： 上述控制策略可以表示为：,b 最优步长法 基本思想：根据本步误差的估计，近似确定下一步可能的最大步长（保证精度的前提下，减小计算量） 具体策略：,五 数值积分法的几个基本概念 1 算法自启动 若已知数值积分方程的初值，利用算法公式，就可以求得后续一系列点上的近似解，而不需要其他算法的协助，该算法就是可以自启动的。,2 单步法和多

13、步法 单步法：在数值积分方程中，在求解后一时刻的数值时，仅仅需要当前时刻的信息； 多步法：在数值积分方程中，在求解后一时刻的数值时，不仅需要当前时刻的信息，还需要过去时刻的信息；,3 显式和隐式 显式算法：在数值递推公式求解yn+1的过程中，只用到时刻tn及其之前时刻的值； 隐式算法：在数值递推公式求解yn+1的过程中，计算的递推公式中含有未知量；,5 舍入误差 在计算过程中，由计算机字长引起的误差。 同步长h成反比，h越小，计算次数越多，舍入误差越大。 6 初始误差 给定的初始值与真值之间的差异。,7 数值解的稳定性 连续系统的数字仿真就是将给定的微分方程变换成差分方程，计算过程从初值开始迭

14、代运算。各类误差会在计算过程中传播下去，对以后的计算结果造成影响。 对于给定的步长h，若计算结果对于初始误差或计算误差不敏感，就是稳定的。 对于不稳定的算法，误差会逐渐累积，导致计算结果发散，仿真失败。,2.2.3 实时Runge-Kutta积分法 一般方法难以满足实时仿真的需要：所得模型的执行速度较慢；机理也不符合实时仿真的需要。 假设对一般形式的系统进行仿真： RK-2公式：,假定在h/2的时间内计算机刚好计算一次右端函数f,则计算分为两步： 1 在tk时刻利用当前的un、yn计算K1； 2 在tn+h/2时刻计算K2,此时un+1无法得到，仿真执行延迟h/2输出要迟后半个计算步距。 实时

15、仿真除了要满足执行速度的要求外，还要求实时接收外部输入，并实时得到输出。,此种情况下，解决的方法有两个：对un+1进行预报（增大仿真误差）或仿真延迟半个计算步距（输出也延迟半个计算步距）。 实时RK-2公式：,假定在h/2的时间内计算机刚好计算一次右端函数f,则计算分为两步： 1 在tk时刻利用当前的un、yn计算K1； 2 在tn+h/2时刻计算K2,此时un+1/2可以得到，不会引入新的误差，可实时得到yn+1,2.2.4 4阶向量公式 用向量形式表示n阶动力学系统的微分方程： 其中: Y(t)=y1(t),y2(t),yn(t)是n维状态量 F(t,Y)=(f1,f2,fn)是n维向量函数， fi=ft,y1(t),y2(t), ,yn(t)(i=1,2,n) 向量公式表示为： 式中kj=(k1j,k2j, ,knj),kij(i=1,2, ,n;j=1,2,3,4)是微分方程组中第i个方程第j个公式系数。,2.3 线性多步法,2.3.1 相关基础 1 基本思想 单步法：在数值方程中，在求解n+1时刻数值yn+1时，仅仅需要第n时刻yn和fn的值； 多步法：在数值方程中，在求解n+1时刻数值yn+1时，不仅需要第n时刻yn和fn ，还需要第n-1、n-2等过去时刻