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1、第六章 平面问题 直角坐标解,工程结构的某些特殊形式，经过适当简化和力学模型的抽象处理，可以归结为弹性力学的平面问题。 例如水坝，受拉薄板等。 平面问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的。,目录 6.1 平面问题的基本方程 6.2 应力函数逆解法与半逆解法 6.3 梁的平面弯曲 6.4 三角级数解,6.1 平面问题的基本方程,平面问题,平面应变 平面应力,变形与应力 基本方程 应力解法,基本方程,6.1 基本方程2,构件几何形状特征: 具有很长的纵向轴的柱体， 横截面大小和形状沿轴线不变； 外力与轴线垂直并且沿轴线不变； 柱体的两端受固定约束。 可以假设柱体是无限长的。 任意横截面都是
2、结构对称面。 变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。,平面应变问题,6.1 基本方程4,平面应变问题,平面应变问题的物理方程,平面应变问题只有应力 x， y，z = ( x+ y)和xy不等于零，而且这些应力均为x， y的函数，与坐标z无关。,6.1 基本方程5,位移分量u=u (x , y), v=v (x , y), w=0 。,平面应变问题,应力分量 x， y， z = ( x+ y)和xy不等于零，而且这些应力均为x， y的函数，与坐标z无关。,应变分量 x， y，xy 均为坐标x,y的函数，而其余应变分量z = xz= yz = 0。,6.1 基本方程6,平衡微分方程,平面应
3、变问题_基本方程,几何方程,平面应变本构关系,6.1 基本方程7,变形协调方程,平面应变问题_基本方程,面力边界条件,应力解法_应力分量表示变形协调方程 将物理方程带入变形协调方程,6.1 基本方程8,平面应变问题_基本方程,应力解法_应力分量表示变形协调方程,体力为常量情况下,莱维（Lvy）方程,6.1 基本方程9,构件几何形状特征: 薄板,厚度为h； 外力平行于中面,沿厚度均匀分布；表面不受外力作用。 表面面力边界条件:,平面应力问题,薄板厚度很小,应力分量均匀分布,z = 0, xz=0, yz=0 x，y， xy均为x， y的函数,6.1 基本方程10,平面应力问题,平面应力问题的物理
4、方程,平面应力问题只有应变 x， y， z 和xy不等于零，而且这些应变均为x， y的函数，与坐标z无关。,6.1 基本方程11,平衡微分方程,平面应力问题_基本方程,几何方程,平面应力本构关系,6.1 基本方程12,变形协调方程,平面应力问题_基本方程,面力边界条件,平衡微分方程，几何方程，变形协调方程以及面力边界条件相同。 平面应力与平面应变的不同主要在本构方程， 注意到,二者之间的差别只是一个常数。 因此，不论平面应力还是平面应变问题，若物体截面形状及侧面受力相同，则基本方程和边界条件相同。,平面问题基本方程,6.1 基本方程13,注意到,二者未知应力应变关系表达式只是常数的不同。,平面
5、应变与平面应力问题的差别,z向位移w z向正应力sz 正应变分量,w=0w0,6.1 基本方程14,6.1 基本方程15,常体力下的基本方程,平面问题_ 应力函数解法,通解 + 特解,特解：,6.1 基本方程16,齐次方程的通解,平面问题_ 应力函数解法,引入任意函数,6.1 基本方程17,平衡微分方程的解,平面问题_ 应力函数解法,应力分量还需满足变形协调方程,应力函数使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。 f（x, y)称艾雷（Airy）应力函数， 简称应力函数。,平面应力问题的近似性,如果物体截面形状及侧面受力相同，平面应力和平面应变问题的基本方程和边界条件也相同。 因此具
6、有相同的应力解。 但是二者z方向的正应力不同； 应变和位移表达式不同。 平面应力问题解的近似性。,6.1 基本方程18,平面应力问题的近似性,讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。 平面应变问题是完全满足的 平面应力问题 -第四，五两式自动满足 -第二，三，六式还要求,6.1 基本方程19,这要求 x+ y满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。 通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。 对于薄板问题， z很小，可以认为 z近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解,6.1 基本方程20
7、,误差与板厚的平方成正比。 薄板问题误差可以忽略不计 平面应力问题解的近似性的理解 无奈的选择,6.1 基本方程21,误差项,6.2 应力函数 逆解与半逆解法,平面问题应力解的未知函数为3个应力分量 求解2个平衡微分方程和1个变形协调方程 利用应力函数可以简化为一个未知应力函数对应一个基本方程,体力为0,体力为常数,应力函数使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。 f（x, y)称艾雷（Airy）应力函数， 简称应力函数。,6.2 应力函数2,基本方程,应力函数的物理意义及边界条件表示,平面问题的求解有赖于应力函数 选取应力函数是求解问题的关键 应力函数的边界性质,6.2 应力函数
8、3,应力函数的物理意义及边界条件表示,6.2 应力函数4,应力函数的物理意义及边界条件表示,6.2 应力函数5,从定点A到动点B作积分,线性项ax+by+c对于应力分量没有影响,应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y轴负向的投影,应力函数的物理意义及边界条件表示,6.2 应力函数6,应力函数的全微分,从定点A到动点B作分部积分,应力函数的物理意义及边界条件表示,6.2 应力函数7,线性项ax+by+c对于应力分量没有影响,边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩,应力函数的物理意义及边界条件表示,应力函数的物理意义,6.2 应力函数8,应力函数对y的偏导
9、数等于边界由定点到该动点的x方向合力。 应力函数对x的偏导数等于边界由定点到该动点的-y方向合力。 边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的合力对该点的力矩； 上述关系来源于面力边界条件，因此应力函数表达的3个关系式中只有两个是独立的。,逆解法,基本思想 对于某些矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程双调和方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而该应力函数所能解决的问题。 利用逆解法了解应力函数性质。,6.2 应力函数9,一次多项式,逆解法-多项式应力函数,6.2 应力函数10,满足,应力分量,对应无应力状态 在应力函数中增加
10、或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。,二次多项式,逆解法-多项式应力函数,6.2 应力函数11,满足,应力分量,对应均匀应力状态,三次多项式,逆解法-多项式应力函数,6.2 应力函数12,满足,应力分量,对应线性应力状态,四次多项式,逆解法-多项式应力函数,6.2 应力函数13,满足,应力分量,应力状态可以是均匀的,线性分布的,或是二次抛物线分布的.,3a + c + 3e = 0,线性函数 二次函数 三次函数 四次函数,应力函数,0应力状态 可以删除,均匀应力状态,线性应力状态,二次应力状态 只有4个系数独立,逆解法-多项式应力函数,6.2 应力函数14,6.3 梁的平面弯曲
11、,半逆解法 力学模型 边界条件,悬臂梁,主要边界,次要边界,位移边界条件,问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件,应力函数,悬臂梁,f(y)为y的任意函数,6.3 平面弯曲2,应力求解,悬臂梁,6.3 平面弯曲3,所得应力分量与材料力学解完全相同,变形与位移,悬臂梁,6.3 平面弯曲4,应力函数描述的变形是协调的,变形与位移,悬臂梁,6.3 平面弯曲5,m,n,c,d由边界条件确定,位移边界条件,约束条件太强烈！很难满足,变形与位移,悬臂梁,6.3 平面弯曲6,假定左端截面的形心不能移动-平动约束,应用圣维南原理简化位移边界条件,转动约束: 1:左端面形心处的水平微分线段被固定
12、; 2:左端面形心处的垂直微分线段被固定.,变形与位移,悬臂梁,6.3 平面弯曲7,1:,挠曲线方程,左端面变形为三次曲面,变形与位移,悬臂梁,6.3 平面弯曲7,2:,挠曲线方程,左端面变形为三次曲面,悬臂梁受均匀分布荷载作用,可以采用多项式的叠加求解 从应力与荷载的关系入手,假定,悬臂梁,f1(y),f2(y)是y的任意函数,x的二次方程,有无穷多个根,悬臂梁,(b),(c)带入(a),悬臂梁,应力分量,边界条件,悬臂梁,悬臂梁,半逆解法 力学模型 边界条件,简支梁,6.3 平面弯曲8,应力函数,简支梁,6.3 平面弯曲9,由材料力学分析可知：弯曲正应力主要是由弯矩引起的；弯曲切应力主要由
13、剪力引起的；而挤压应力应由分布载荷引起的。,假设,应力函数,简支梁,6.3 平面弯曲10,应力与边界条件,简支梁,6.3 平面弯曲11,由于y轴是结构和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于y轴，因此x和y应该是x的偶函数，而xy应为x的奇函数,E = F = G = 0,应力与边界条件,简支梁,6.3 平面弯曲12,首先考虑上下两边的边界条件,应力与边界条件,简支梁,6.3 平面弯曲13,考虑左右两端面的面力边界条件 对称性-右端面,圣维南原理,满足,应力分析,简支梁,6.3 平面弯曲14,截面惯性矩,静矩,弯曲内力,三角形水坝,力学模型 应力函数,6.3 平面弯曲15,体内任一点的应力分量
14、都将由两部分组成： 1:重力引起的，应当与楔形体的单位体积重量 g 成正比； 2:液体压力引起的，与液体的单位体积重量 g成正比。 应力分量还和，x，y 等有关。,ij为x，y的纯一次式， 应力函数应当是x，y的纯三次式,三角形水坝,应力函数,6.3 平面弯曲16,应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，考虑面力边界条件可以确定各个待定系数,体力分量Fbx=0，Fby= g,三角形水坝,面力边界条件,6.3 平面弯曲17,x=y tana,三角形水坝,应力分量,6.3 平面弯曲18,材料力学没有挤压应力分析.,与材料力学偏心压缩应力相同.,材料力学弯曲切应力按抛物线分布.,莱维解，在工程上
15、作为三角形重力坝的基本解答,6.4 平面问题 的三角级数解,弹性力学的经典问题，可以通过半逆解法选取多项式的应力函数。 这种方法要求弹性体主要边界作用的载荷必须连续，而且也能表示成代数多项式的形式。 边界条件的限制,载荷不连续，不能使用半逆解法. 采用三角级数表示的应力函数求解,6.4 三角级数2,带入双调和方程,同除X（x）Y（y）,对y求一阶偏导数,若上式成立，则,其中，为任意常数,K1，K2为任意常数,6.4 三角级数3,求解没有意义,回代变形协调方程,K1，K2 ， A ， B ， C ， D ， 为任意常数 ，如果取不同的值，就可以得到任意多个特解。另外，基本方程关于这些任意常数是线
16、性的，所以这些解的和也是它的解答。如果在这些解中取足够多的项数，就可以适当的选择这些常数，以尽可能满足问题的边界条件。,6.4 三角级数4,通解:,方程的一个特解,6.4 三角级数5,力学模型 边界条件,x = 0和x = l处,代入应力函数公式，并令K2=1,6.4 三角级数6,适当选取待定系数Am,Bm,Cm,Dm(m=1,2,3,)，使其满足其他边界条件,应力分量表达式,6.4 三角级数7,上下边界条件,在上式的一，三和二，四分别乘以,从0到 l 积分，并利用三角函数的正交性,6.4 三角级数8,Am,Bm,Cm,Dm(m=1,2,3,)所满足的方程组,代入应力表达式，可得应力分量,用级数求解平面问题时，仅用于求解应力表达式的待定系数的计算工作量就相当大。再加上由于级数的收敛不快，将需要更多的计算工作量 。,
