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1、流体运动的基本方程,11 预备知识 12 流体运动的基本方程 13 相对坐标系中流体运动的基本 方程 14 正交曲线坐标中流体运动的基 本方程,11 预备知识,一、向量分析初步 1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积 点积：（数量积）,（1）,（2）,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积 叉积（向量积）：,（3）,（4）,几何意义：平行四边形的面积（有向面积）,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积 混合积（向量数量积）：,（5）,（6）,置换公式：,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积 混合积（向量数量积）： 物理意义： 设,
2、一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积 二重向量积：,（7）,是一向量，方向垂至于向量 和 向量 所构成的平面,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积,（8）,（9）,二重向量积的分解式,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积 练习：试证,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量的导数,向量函数：,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量的导数,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量的导数,（10）,结论： 向量导数在坐标轴上的投影等于相应的向量投影的导数。 向量的导数在几何上为一切向矢量。,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量
3、的导数 一个流体微团在空间的位置可用坐标 确定，也可用向径确定：,经过时间 ，流团运动到新的位置 ：,流体微团速度为：,（11）,一、向量分析初步,3、数量场的梯度 若在数量场 中的一点 处，存在着矢量 ，其方向为函数 在点 处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量 为函数在点 处的梯度，记作 即： ， 在直角坐标系中：,（12）,性质1：方向导数等于梯度在该方向上的投 影，即：,或：,（13）,性质2：数量场中每一点 处的梯度，垂直于过 该点的等值面，且指向函数 增大 最快的方向。,一、向量分析初步,4、向量场的通量及散度,通量：设流速场 ，穿过面元 的流量为：,对任一
4、向量场 ，沿其中某一有向曲 面 的曲面积分：,在单位时间内，穿过 的流量为：,叫做矢量场 向正侧穿过曲面 的通量。 特别当 为封闭曲面时,（14）,（15）,一、向量分析初步,一、向量分析初步,4、向量场的通量及散度,散度：设有矢量场 ，于场中一点 处作一包含 在内的任一闭曲面 ，设其所包围的空间区域为 ，以 表其体积，以 表其从内穿出 的通量，若当 以任意方式缩向 点时，比式：,（16）,极限存在，则称此极限为向量场 在点 处的散度，记作,一、向量分析初步,4、向量场的通量及散度, 是一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度
5、。 正源， 负源， 无源。 的场称之为无源场（如不可压流体 ，对单位体积流团来说，流进流出）,（17）,在直角坐标下，,奥氏公式（通量和散度之间的关系）,（18）,一、向量分析初步,5、向量场的环量及旋度,环量：设有向量场 ，则沿场中 某一封闭的有向曲线 的曲线积分,（20）,叫做此向量按所取方向沿曲线 的环量。如在力场中 ， 就是 沿封闭路所做的功。 环量密度：若极限,（19）,存在，则称之为矢量场在点 处沿方向 的环量面密度（亦即环量对面积的变化率）。 Note：环量面密度与法矢 有关，即与 有关，也就是与面元 有关；环量面密度是一标量。,一、向量分析初步,5、向量场的环量及旋度,旋度：若
6、在矢量场 中的一点 处存在这样的一个矢量 ，使得矢量场在点 处沿 方向的环量面密度为最大，这个最大的数值正好就是 ，则称矢量 为矢量场 在点 处的旋度，记作 ，即 ，简言之，旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度。 矢量场中的旋度相当于标量场中的梯度。,在直角坐标系中：,（21）,一、向量分析初步,5、向量场的环量及旋度,有旋运动， 无旋运动。应当指出，流体微团是否作有旋运动，需视微团是否围绕着通过流体微团的瞬时轴旋转，而并非决定于流体微团轨迹的几何形状。 流体微团速度：,斯托克斯公式（环量和旋度之间的关系）,（22）,旋度矢量沿任一方向 上的投影，就等于该方向上的环量面 密度，即,一、
7、向量分析初步,6、哈密尔顿算子（hamilton operator）,记 称之为哈密尔顿算子,一、向量分析初步,6、哈密尔顿算子（hamilton operatoz）,Note: 是一个矢性微分算子，因此它在计算中具有矢性和微分的双重性质。作为微分只作用于右边，如 ,微分运算规则同样适用；作为矢量 。计算时，先作微分运算，后矢量运算。,例：试证：,证：,一、向量分析初步（作业一）,11 预备知识,二、数量场与向量场的微分,设有数量场 ，在瞬时 ， 点的数量函数值为 。考虑在瞬时 ，与 点相邻的 点的函数值时， 点的函数值可表示为 ：,二、数量场与向量场的微分,- 在 时间间隔内由于非定常性引起
8、 点函数 的变化。,-由于在同一时刻 ，场内位置不同（由矢径 变为 ） 所引起的函数 的变化。,故：函数在 时间间隔内， 、 两点 的总变化为 。 对于定常场 ：,二、数量场与向量场的微分,对于矢量场 ，根据（10）式,（23）,同理可得：,（24）,三、流动导数（随体导数，物质导数）,流场中，用 代表速度向量函数， 代表密度和温度，则在非定常流动中，任一点 ， 仍可用 求其微分 但此时， 已不再是任意的向径增量了，而是代表流体微团 沿其轨迹在 时间间隔内所运动的距离，因而 是有物理意义的，它表示流体微团运动的速度， 即： ，或者 。,三、流动导数（随体导数，物质导数）,对密度：,对速度： 加
9、速度,故流动导数的通式可表达为：,*代表任一物理量，如速度、密度、温度等流体 运动的力学属性（标量或矢量）,-流场中的速度,（25）,三、流动导数（随体导数，物质导数）,置换时间导数或换位导数、迁移导数,局部时间变化率是由于流场的非定常性而引起某固定点上参数的变化，而换位导数是由于在时刻 位置的变化而引起的流体参数的变化。 在定常流动中，局部时间变化率为零。,总流动导数或全流动导数 （拉格朗日观点）,局部时间变化率或局部导数,四、函数积分的随体导数,设标量函数 为体积 内任一标量分布函数，对于体积 有体积分,定义随体导数为： （拉格朗日观点）,考虑到 即可随时间而改变，也可由于体 积 的变化而
10、变化，因此,（26）,四、函数积分的随体导数,（26）式右手第一项是由于 的不恒定性所引起的整个控制体内所含物理量 在单位时间里的增量。第二项表示在单位时间内，通过流体控制体表面 而引起的控制体内物理量 的变化，也就是系统由一个位置流到另一个位置时，由于流场的不均匀性引起的 的迁移变化率，故上式与流动导数本质上相同的，只不过体积分的随体导数是以系统的流动作为研究对象，而流动导数是以流体质点作为研究对象，所以可以说，体积分的随体导数是流体质团（系统）的流动导数，是用欧拉导数表示一个流体微团的拉格朗日变化率 。,四、函数积分的随体导数,显然对不可压缩流动：,四、函数积分的随体导数,类似地，对于矢量
11、函数，有：,对不可压缩流体,四、函数积分的随体导数,结论：,*为任一流场参数（向量、标量） 上式通常称为体积分的随体导数，或称为雷诺输运方程（Regnolds transport equation）,（27）,对不可压缩运动：,（28）,四、函数积分的随体导数,讨论： 连续方程： 连续方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式，系统的质量为：,质量守恒要求：,根据雷诺输运方程：,由于 的任意性，有连续方程；,（29）,对不可压缩流体，在场内处处,（30）,四、函数积分的随体导数,雷诺第二输运方程 ：应用上述体积分地随体导数,同理，对于矢量,即雷诺第二输运方程 ：,（31）,12流体运动的基本方程
12、,一、连续方程（continuity equation）,（1）,（2）,或者：,对于定常流动,（3）,（4）,对于不可压流动,二、运动方程（动量方程 momentum equation ）,运动方程是动量守恒原理在流体运动中的表现形式。运动着的流体微团的动量可表示为：,（5）,动量守恒原理要求流体系统的动量变化率等于作用于该系统上的全部作用力，即：,作用在流体微团上的力包括： 体积力（body force）（包括质量力）：指作用在流体微团上的非接触力，例如地心引力、磁流体中的磁力等。这种力可以穿透到流体的内部而作用于每一个流体质点上。体积力可表示为 ，其中 为单位质量力，对于体积为 的流体微
13、团，体积力为 。,面积力（Surface force）：流体或固体通过接触面而施加在另一部分流体上的力。它是流体在运动过程中，作用在流体内部假想的面积上的由于流体的变形和相互作用而在流体内部产生的各种应力，或者是流动的固体边界对流体施加的面积力。,对于静止的流体，作用于平衡面积的面积力（应力）永远沿着作用面的内法线方向，而且其大小与作用面所处的方位无关，也就是说一点的静压力各个方向相等。 对于理想流体，由于不计粘性，没有切向力，因而动压力也垂直作用面，而且各个方向相等。,二、运动方程（动量方程 momentum equation ）,如果作用面垂直于坐标系上的任一坐标轴，则应力 可以分解为三个
14、分量：一个法向应力；另外两 个与作用面相切的切向应力（切应力），方向分别平行于另外两个坐标轴。如图所示。 约定：第一个下标表示与应力作用面垂直的坐标轴，即应力作用面的法线 方向。第二个下标表示该作用面上应力在哪一个坐标轴面的分量， 即应力投影方向。,对于粘性流体，由于粘性的存在，可以有切向力，因而单位面积上的表面力（应力）就不一定垂直于作用面，而且各个方向的大小也不一定相等。,二、运动方程（动量方程 momentum equation ）,一点的应力状态常用应力张量(stress tensor) 来表示。 下标 表示作用面的外法线方向； 表示面积力的方向， 为空间点坐标及时间 的函数。,为二阶
15、张量，可以证明为对称张量，即,二、运动方程（动量方程 momentum equation ）,设单位面积上的面积力为 ，则 是空间坐标 ，时间 以及作用面外法线方向 的函数，令：,则有，单位面积上的面积力 为,（单位法向量）,（6）,二、运动方程（动量方程 momentum equation ）,故：作用于流体微团 上的面积力为：,二、运动方程（动量方程 momentum equation ）,于是，动量方程可表示为：,将此式代入上述方程，由于 的任意性，有微分形式的动量方程：,根据雷诺第二输运方程：,（8）,（7）,此式为矢量形式的动量方程， 加速度,二、运动方程（动量方程 momentum equation ）,方程的封闭问题 在质量力已知的情况下，对于不可压缩流体有9个未知量，三个速度分量和6个应力分量，而仅有四个方程（三个分量的运动方程和一个连续方程），不足以解9个未知量（对于可压缩流体，虽然多了一个未知函数 ，但可以多一个热力学方程，不影
