费马最后定理教学文案

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1、費馬最後定理,講者：梁子傑 香港道教聯合會青松中學,費馬 Pierre de Fermat(1601 - 1665),法國人 律師，1631年出任圖盧茲議院顧問。 業餘研究數學 他是幾何學、坐標幾何、概率論、微積分、數論等學問的先驅。,大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著算術時，在書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：,將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。,費馬最後定理 當整數 n 2 時，方程 x n + y n = z n 無正整數解。,勾股定理及勾股數

2、組,勾股定理在 ABC 中，若 C 為直角，則 a2 + b2 = c2。 留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; 等等 即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13)等等為方程x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 我們稱以上的整數解為勾股數組。,費馬的解答,將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。 但，費馬從未向其他人提及這個美妙證明，亦沒有任何紀錄提及這件事！

3、 到底費馬的說法是否正確呢？,n = 4 的證明,費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的證明步驟。 1674 年，貝西在的少量提示下，給出這個情形的證明。 證明步驟主要使用了他發明的無窮遞降法。,定理方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。 解假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數， 則 x2 = a2 - b2 ; y2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a b 0，HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。 由 x2 = a2 - b2 得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。

4、 另外，亦得 x2 + b2 = a2，再從此得x = c2 - d 2 ; b = 2cd ; a = c2 + d 2，其中 c d 0，HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。 因而 y2 = 2ab = 4cd(c2 + d 2)， 由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。,費馬的證明,換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。 但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 g 4 g 0。 即是話如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4

5、 = z2。如此類推，我們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。 但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。 所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢） 推論方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。 解假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）,於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。,再進一步,瑞士人。18世紀最優秀的數學家

6、。 世上最多產的數學家。 13歲入大學，17歲取得碩士學位，30歲右眼失明，60歲完全失明。 1770年提出 n = 3 的證明。 但歐拉在他的證明中犯錯，故此並未能成功地解決 n = 3 的情況！,歐拉 Leonhard Euler(1707 - 1783),高斯 Carl Friedrich Gauss(1777 - 1855),德國數學家。 完成歐拉的證明。 引入複整數的概念，即形如 a + b k，其中 a、b 為整數，k 為正整數的數字。,複整數的引入,法國人。少數研究數學的女性。 提出將費馬定理分成兩個情況：(I)n 能整除 x、y、z。(II)n 不能整除 x、y、z。 熱爾曼定

7、理如果 p 是一個奇質數，並且 2p + 1 亦是質數，那麼對於 n = p，費馬定理的第 I 情況成立。 熱爾曼初步完成了 n = 5 的證明。,熱爾曼 Sophie Germain (1776 - 1831),新的方向,n = 5 的證明,勒讓德 Legendre (1752 - 1833),狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859),法國人 1823 年，證明了 n = 5。,德國人 1828 年，獨立地證明了 n = 5。 1832 年，解決了 n = 14 的情況。,n = 7 的證明,拉梅 Gabriel Lam (1795 - 1870),法國人 1839 年，證明

8、了 n = 7。 1847 年，在巴黎科學院宣布證明了費馬最後定理。 由於該證明未能滿足唯一分解定埋，故證明無效。,理想數的誕生,庫麥爾 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893),德國人 1845 至 1847 年間，提出了分圓整數、理想數、正規質數等概念。 證明當 n 100 時，費馬最後定理成立。 1857 年，獲巴黎科學院頒發獎金三千法郎。,懸紅十萬馬克,沃爾夫斯凱爾 Paul Friedrich Wolfskehl (1856 - 1908),德國商人。 曾學習醫學。1883 年跟庫麥爾學習。 訂立遺囑，懸紅十萬馬克，獎賞在他死後一百年內能證明費馬最後定理的人

9、。,1909 至 1934 年間，收到無數的證明，但無一成立。 經過兩次大戰後，該筆獎金已大幅貶值，以 1977 年的價值計算，祇約值一萬馬克或四千美元。,無數英雄盡折腰,1941年，雷麥證明當 n 253747887 時 ，費馬最後定理第 I 情況成立。 1977 年，瓦格斯塔夫證明當 n 125000 時，費馬最後定理成立。 1983 年，德國數學家伐爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而推出方程 x n + y n = z n 最多祇有有限多個整數解。 1988 年，日本數學家宮岡洋一宣布以微分幾何的角度，證明了費馬最後定理！ 不過，該證明後來被發現有重大而無法補救的缺陷，證明不成立！,谷山志村猜

10、想,谷山豊 (1927 - 1958),志村五郎（生於1926）,谷山志村猜想,之後，就開始了二人對模形式的研究。 1955 年，谷山開始提出他的驚人猜想。 1958 年，谷山突然自殺身亡。 其後，志村繼續谷山的研究，並提出以下的猜想： 谷山志村猜想每一條橢圓曲線，都可以對應一個模形式。,1954 年，志村五郎於東京大學結識谷山豊。,對谷山志村猜想的評價,起初，大多數的數學家都不相信谷山志村猜想。 60 年代後期，眾多數學家反覆地檢驗該猜想，既未能證實，亦未能否定它。 到了 70 年代，相信谷山志村猜想的人越來越多，甚至以假定谷山志村猜想成立的前提下進行論證。,谷山志村猜想與費馬最後定理有甚麼

11、關係？,1984 年秋，德國數學家弗賴（Gerhand Frey），在一次數學會議上，提出以下的觀點：,弗賴曲線（ 猜想）,首先，假設費馬最後定理不成立。即發現 A、B、C 和 N，使得 A N + B N = C N。 從此得出橢圓曲線（後來稱這線為弗賴曲線）： y 2 = x 3 + (A N - B N)x 2 - A NB N x 。 弗賴發現這曲線非常特別，特別到不可能對應任何一個模形式！ 換句話說，弗賴認為：如果費馬最後定理不成立，那麼谷山志村猜想也是錯的！,費馬最後定理,弗賴曲線,谷山志村猜想,錯,錯,假如,費馬最後定理,弗賴曲線,谷山志村猜想,對,錯,對,假如,再換句話說，如果

12、谷山志村猜想正確，那麼費馬最後定理就必定成立！,美國數學家里貝特（Kenneth Ribet）經過多番嘗試後，終於在 1986 年的夏天成功地證得以下結果：,可惜的是弗賴在 1984 年的證明犯錯，他的結果未獲承認。 故此，它祇可稱為猜想。,如果谷山志村猜想對每一個半穩定橢圓曲線都成立，則費馬最後定理成立。,懷爾斯 Andrew Wiles,英國人，出生於 1953 年。,10 歲已立志要證明費馬最後定理。 1975 年，開始在劍橋大學進行研究，專攻橢圓曲線及岩澤理論。 在取得博士學位後，就轉到美國的普林斯頓大學繼續研究工作。,秘密計算,1986 年，當里貝特證得 猜想後，懷爾斯就決心要證明谷

13、山志村猜想。,由於不想被別人騷擾，懷爾斯決定秘密地進行此證明。 經過七年的努力，參考過無數當代數學家的研究成果，再加上他自己的一些獨特創造，他終於找到谷山志村猜想的部分證明。,劍橋演講,1993 年 6 月 23 日，在劍橋大學的牛頓研究所，懷爾斯以模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示論為題，發表了他對谷山志村猜想（即費馬最後定理）的證明。,演講非常成功，費馬最後定理經已被證實的消息，很快便傳遍世界。,噩夢開始！,演講會過後，懷爾斯將長達二百多頁的證明送給數論專家審閱。 起初，祇發現稿件中的有些微的打印錯誤。 但，同年 9 月，證明被發現出現了問題，並未能對所有情況生效！ 懷爾斯以為此問題很快便可以修

14、正過來，但結果都失敗！ 懷爾斯已失敗的傳聞，不脛而走。,再次閉關,1994 年 1 月，懷爾斯重新研究他的證明。但，到了同年 9 月，依然沒有任何進展。,其間，不斷有數學家要求懷爾斯公開他的計算方法。 更有人懷疑：既然過去都無法證明費馬最後定理，到底現在又能否證實谷山志村猜想呢？ 但在 9 月 19 日的早上，當懷爾斯打算放棄並作最後一次檢視時，突然發現了一個解決方法,1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌數學年鑑中發表。,最後勝利,最後勝利,1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌數學年鑑中發表。,1997 年 6 月 27 日，懷爾斯獲得價值五萬美元的沃爾夫斯凱爾獎金。,多謝！,完,