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1、反馈镇定与极点配置,Lyapunov定理,对于线性系统 ，该线性系统零解渐进稳定当且仅当A的特征值位于左半平面。另一方面，如果取二次型 作为Lyapunov函数，其中V是正定矩阵，那么 对任意的非零x小于零，当且仅当矩阵 定理：A的特征值都在左半平面当且仅当存在正定矩阵V使 得,开问题(Open problem),给定两个矩阵A1、A2，什么条件下有共 同的正定矩阵V使得,反馈镇定,输出反馈,输出反馈,闭环系统为 输出反馈控制器设计就是确定K使得闭环系统稳定，即，使 得ABKC稳定(也叫Hurwitz稳定特征值在左半平面)或 者具有其它性能指标。,状态反馈,闭环系统为 状态反馈控制器设计就是确
2、定K使得闭环系统稳定，即ABK 稳定或者具有其它性能指标。,两种控制率的比较,输出反馈： 状态反馈：,凡是输出反馈K所能达到的控制效果，只要取状态反馈 则可达到同样的控制效果。但是，反过来由F和C在(1)式中不 一定能解出矩阵K来。这说明状态反馈F有可能获得比输出反 馈K更多的控制效果，其中有的控制效果可能更好。,观测器,由于在实际系统中状态不容易通过实际测量得到，所以 有时需要通过输入和输出重新构造一个系统使得新系统的状 态能逼进原系统的状态。,渐近等价指标：,对系统能控能观性的影响,状态反馈不改变系统的能控性，但有可能改 变能观性。,输出反馈既不改变系统的能控性，也不改变 能观性。,动态反
3、馈,-,G(s),K(s),u,y,对象: 控制器:,动态反馈,闭环系统为 控制器设计就是设计Ak、Bk、Ck、Dk使得 稳定。,极点配置,闭环系统极点的分布情况决定系统的稳定性和动态品 质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系 统的极点应有的分布情况，把极点的布置作为系统的动态 品质指标。这种把极点布置在希望的位置的过程称为极点 配置。 状态反馈可以任意配置极点的充要条件是(A，B)可 控。即存在K使得可以任意配置ABK的特征值当且仅当 (A，B)可控。,极点配置,例如对于单输入系统 设计K=k1 k2 k3 kn改变ABK的最后一行元素，所以可以 任意配置A+BK的特征值；,极点
4、配置,设希望的闭环特征多项式为 则闭环系统的特征多项式为 令其与希望的闭环特征多项式相等，可得 ，则,极点配置,极点配置,镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。镇定只要求闭环极点配置在复数平面的左半平面内，不必配置在具体指定的位置。即镇定只要求闭环极点都具有负的实部。,实例：倒摆控制,选择状态变量：,系统状态方程为：,为了对倒摆进行控制，考虑 的方程,开环系统的特征方程为 ，它在s平面的右半平面上 一个特征根，因此原系统是不稳定的。引入反馈控制,将u(t)代入式(1)得,系统的特征方程为,可见只要,就能使系统稳定。,实例：锁相环,应用：,通信 大规模集成电路,实例：锁相环,-,Gfilt(s)
5、,sin(.),z,F/s,实例：锁相环,利用MATLAB进行辅助运算,1、求特征值：eig(A),A=-3 1 0;4 0 3;-6 8 10; B=1;0;-1; C=1 2 1;,ans = -3.5049 4.3754 6.1295,例：,利用MATLAB进行辅助运算,2、求特征多项式 s=poly(A),s = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.0000,3、求特征根 roots(s),ans = -3.5049 6.1295 4.3754,利用MATLAB进行辅助运算,4、求能控性和能观性矩阵： Qc=ctrb(A,B) Qo=obsv(A,C),Qc = 1
6、-3 16 0 7 36 -1 -16 -86,Qo = 1 2 1 -1 9 4 15 31 13,5、求矩阵的秩 rank(Qc) rank(Qo),ans = 3,ans = 3,系统能控能观！,利用MATLAB进行辅助运算,6、求矩阵的行列式 det(Qc),7、传递函数和状态空间实现的转换 num,den=ss2tf(A,B,C),ans = 194,num = 0 0.0000 -5.0000 37.0000 den = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.0000,利用MATLAB进行辅助运算,A,B,C,D=tf2ss(num,den),a = 7.0000
7、10.0000 -94.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0 b = 1 0 0 c = 0.0000 -5.0000 37.0000 d = 0,利用MATLAB进行辅助运算,8、二维图象的绘制 t=0:0.1:2*pi; plot(t,sin(t),-pentagram);,利用MATLAB进行辅助运算,9、三维曲线的绘制 t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);z=t; plot3(x,y,z,r-);,利用MATLAB进行辅助运算,10、三维曲面的绘制 x,y=meshgrid(-3:0.1:3,-2:0.1:2); z=(x.2-2*x).*e
8、xp(-x.2-y.2-x.*y); axis(-3,3,-2,2,-0.7,1.5); mesh(x,y,z);,利用MATLAB进行辅助运算,11、help 指令名称,12、lookfor 关键词,实例：卫星轨道控制,下图描述了地球上空高度为463km的赤道园轨道卫星,实例：卫星轨道控制,卫星在轨道平面中运动的状态方程为,状态向量x表示赤道圆轨道的标准摄动，ur表示从径向推进器获得的径向输入，ut表示从切向推进器获得的切向输入，卫星的轨道角速度为0.0011rad/s（约为每圈90分钟）。,实例：卫星轨道控制,结论：当切向推进器失效，只有径向推进器正常工作时， 系统是不能控的。 当径向推进
9、器失效，只有切向推进器正常工作时， 系统是完全能控的。 参考文献： 1 R.H.Bishop. Adaptive control of space station with control moment gyros. IEEE Control Systems, October 1992, pp.23-27 2 Rama K.Yedavalli. Robust control design for aerospace applications. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, 25(3),1989,314-324,习题,若状态反馈信号为u=Kx,求解增益矩阵K，使系统,的闭环极点为s1= 1, s2= 2。,
