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1、二、向量空间的基与维数,定义9 设V为向量空间，如果 r 个向量 1, 2 , r V , 且满足,(1) 1, 2 , r 线性无关；,(2) V中任一向量都可由1, 2 , r 线性表示，,那末，向量组1, 2 , r 就称向量空间V的一个基，r 称为 向量空间V的维数，并称V为r 维的向量空间。,1、如果向量空间V没有基，那末V的维数为0。,2、0维的向量空间只含有一个零向量0。,3、若把向量空间V看作向量组，则V的基就是向量组 的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。,4、V0 = x = (0, x2, , xn)T | x2, xn R,的一个基为：,所以V0是一个n1维的向量空间。
2、,5、由向量组1,2,m所生成的向量空间,V = x = 11 + 22 + +mm | 1, 2, , m R 。,显然，向量空间V与向量组 1, 2, m 等价，所以向量组 1,2,m 的极大无关组就是V的一个基， 1,2,m 的秩 就是V的维数。,6、若向量空间VRn,则V的维数不会超过 n 。并且， 当 V 的维数为 n 时，V = Rn 。,7、若向量组 1,2,r 是向量空间 V 的一个基，则 V 可表示为,V = x = 11 + 22 + +rr | 1, 2, , r R 。,这就清楚地显示出一个向量空间V的构造。,例6 设,A = ( 1,2,3 ) =,B = ( b1,
3、b2 ) =,验证 1,2,3是R3的一个基，并把 b1,b2 用这个基线性表示.,解 要证1,2,3 是R3的一个基，只需证 1,2,3 线性 无关，即证A E 即可。,显然，A E，故 1,2,3 是 R3 的一个基，且,( b1,b2 ) (1,2,3 ),三、过渡矩阵与坐标变换,1、过渡矩阵,设n维向量空间V的两组基为,A : 1 , 2 , , n,B : 1 , 2 , , n,由于A组基与B组基等价，所以,即(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )C.,称矩阵 C 为由基1 , 2 , , n到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵。其中,C =,v = ( 1 , 2 , , n),= (1 , 2 , , n )C,从而，得,或,例7 已知R3的两组基分别为,A :,B :,且由基 1,2,3到基 1, 2, 3 的过渡矩阵为,求a、b、c、及x、y、z。,解 由基变换公式,根据矩阵相等，其对应的元素相等得,作业、129页 13、16题。,
