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1、第二十章 曲线积分,1 第一型曲线积分 2 第二型曲线积分,第二十章 曲线积分,1 第一型曲线积分,一、问题的提出,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,二、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,2.存在条件：,3.推广,注意：,4.性质,(4),（5）,三、对弧长曲线积分的计算,定理,证略。,这里，,曲线积分,定积分,(1) L：y=y(x), axb,假设 y(x)C1(a, b). 有,( a b ),计算：,(2) L：x=x(y), cyd,假设 x(y)C1(c, d). 有,( c d ),例1. 计算,其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2
2、, 2),的一段弧.,(3) L：x=(t), y=(t), t,( ),注意:,特殊情形,1. 曲线,对弧长曲线积分的计算公式,则,2. 曲线,3. 曲线,则,则,推广:,例1. 计算,其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2),的一段弧.,例2. 计算,L: 连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO.,解：L分段光滑,ds=dx,ds=dy,=2,L: x=acos t, y=asin t, 0t2,(4) 空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), t,( ),例4. 计算,其中：从点A(3, 2, 1)到点O(0, 0, 0)的
3、直线段.,化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.,例5,解,例6,解,例7,解,由对称性, 知,例8,解,例9,解,(1) L：,(2) L：,例10,解,例11,解,于是，,四、几何与物理意义,对弧长曲线积分的应用,例9,解: 如图设置坐标系,1、对弧长曲线积分的概念,2、对弧长曲线积分的计算,3、对弧长曲线积分的应用,作业 : P201:1,(1)(7),2,3.,五 小结与思考判断题,思考判断题,（1） 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,（2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,思考题解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,
