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1、多元函数的极限,或,或,或,主要：二元函数的极限,例 设,按定义证明：,证：,分析,即,取,则当,就有,按定义得：,要使,只要,注意：,在二元函数的极限定义中,意味着：,沿任意路径,时，,都有,在D中当,例 考察函数,(2)当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,解：,当,时的极限。,(1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,(3)当点P(x,y)沿直线y=kx (k0) 趋于点(0,0)时,（其值随 k 的不同而改变）,注,二元函数的极限也称为二重极限.,例 求,多元函数的连续性,如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或称f(x,
2、y)是D上的连续函数.,二元函数的连续性概念，可相应地推广到 n元 函数 上.,二元函数z=f(x ,y)在点P0(x0 ,y0)处连续，必须满足以下三个条件，即：,(1)函数z=f(x ,y)在点P0(x0 ,y0) 处有定义,(2)函数z=f(x,y)在点P0(x0 ,y0)处有极限.,(3)函数z=f(x ,y) 在点P0(x0 ,y0)处的极限值等于该点的 函数值，即：,函数f(x,y)在点(x0 , y0)处连续,怎么写？,定义 设函数f(x,y)的定义域为D， 是D的聚点.如果函数 f(x,y) 在点 不连续，则称点 为函数 f(x,y) 的间断点.,例如函数,其定义域 ，O(0,
3、0)是D的聚点.,因为f(x,y)当 时的极限不存在，,所以点O(0,0)是该函数的一个间断点。,圆周 上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，所以 f(x,y) 在C上各点都不连续，即：圆周C上各点都是该函数的间断点.,其定义域为,又如函数,间断线,取,从而有,即,按定义得：,注,上述定理表明： 一元连续函数看成二元函数时仍是二元连续函数。,类似地，有：,一元连续函数看成多元函数时仍是多元连续函数。,因一元基本初等函数都是连续函数，,所以,一元基本初等函数看成二元函数或多元函数时 仍是连续函数。,一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用.,由此可得：,一切多元初等函数在其
4、定义区域内都是连续的。,定义区域：包含在定义域内的区域或闭区域。,根据多元函数的极限运算法则，可以证明:,例如,都是初等函数。,从而有,利用初等函数的连续性，可以来求极限。,例,解,函数,是初等函数,它的定义域为,例 求,解：,注,多元函数的极限具有与一元函数的极限类似的性质。,如：无穷大与无穷小的关系，,两边夹准则 等。,无穷小的性质，,等价无穷小代换，,例,解,（有界量乘以无穷小还是无穷小）,例,解,（两边夹准则）,解,只需令,因此，只要求出,的值即可。,（洛必达法则）,有界闭区域上的多元连续函数有如下的性质：,性质1(有界性与最大值最小值定理): 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值.,性质2(介值定理): 在有界闭区域D上的多元连续函数必可取到介于最大值和最小值之间的任何值.,小结：,多元函数的定义,多元函数的极限概念（特别是二元函数的极限 即：二重极限 ）,注意：趋近方式的任意性,多元初等函数的连续性,有界闭区域上的多元连续函数的性质,多元函数的连续概念,作 业,P62，习题9-1， 6 - 9,
