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1、第一章 函 数 与 极 限,第一节 映射与函数,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的全体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,或,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,例如,即:,面上的全体点的集合,即:整个,平面,通常记,研究某个问题一般是限定在一个大的集合中进行的,这个大的集合称为全集,记为,设,称,为集合,的余集或补集,记为,即,例如，,则,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,有限区间,无限区间,3.邻域:,记为,，即,（,）,
2、4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对于“过程”而言的.,通常用字母 a,b,c, a, b, ca等表示常量;,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母 x, y,z, t ,u,v 等表示变量.,5.绝对值:,性质:,绝对值不等式:,二、映射,1. 映射的概念,定义,设,是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对于,中每个元素,按法则,在,中,有唯一确定的元素,与之对应,则称,为,从,到,的映射,记为,称为元素,(在映射,下),的像,并记为,即,元素,称为元素,(在映射,下),的一个原像.,集合,称为映射,的定义域,记为,即,中所有元素的
3、像所组成的集合称为映射,的值域,记为,即,注意:,(1) 构成映射的三要素:,集合,即定义域,集合,值域,对应法则,对每个,有唯一确定的,与它对应,(2),对每个,元素,的像,是唯一的.,但是,对每个,元素,的原像,却不一定是唯一的.,例1,设,对每个,显然,是映射.,它的定义域,它的值域,对于值域,中的元素,若,则其原像不唯一.,例如:,的原像是:,两个,例2,设,对每个,有唯一确定的,与它对应.,显然,是映射.,它的定义域,它的值域,-1,1,例3,设,对每个,按定义,是映射.,它的定义域,它的值域,定义,设,是从集合,到集合,的映射,若,则称,为满射(或到上的).,若对,中任意两个不同元
4、素,它们的像,则称,为单射.,若映射,既是单射,又是满射,则称,为一一映射,(或双射),例1中,不是,单射,不是满射,例2中,不是,单射,是满射,例3中,是,单射,是满射,是,一一映射,2. 逆映射与复合映射,设,是从集合,到集合,的单射,则根据定义,对每个,有唯一的,满足,这样,我们就得到一个新的映射,对每个,有唯一的,满足,的,与它对应,我们称这个映射,为,映射,的逆映射,记为,显然,其定义域,其 值域,按上述定义,可知:,只有单射才有逆映射,因此,在例1,例2,例3中,只有例3的,有逆映射,对每个,有唯一的满足,的,与它对应.,(反正弦函数),其定义域,其值域,设有两个映射,且,即,这样
5、,对于每个,即,这是一个从,到,的映射,我们称它为映射,构成的复合映射,记为,即,注意,(1),映射,能构成复合映射的条件是：,否则，,不能构成复合映射.,例如:,映射,对每个,映射,对每个,不能构成复合映射.,(2),映射,的复合是有顺序的,即一般地有:,例4,映射,对每个,映射,对每个,显然,映射,构成复合映射,:,对每个,三.函数,1.函数的概念,定义,设数集,则称映射,为定义在,上的函数,记为,称为自变量,称为因变量,称为定义域,记为,即,称这个值,为函数,在,处的函数值,记为,即,函数值,的全体所构成的集合称为函数,的值域，,记为,，即,注意,与,的区别,对应法则,函数在,处的函数值
6、,习惯上，也用,或,来表示定义在,上的函数。,对应法则,也可用,等表示,函数可记为,有时，也直接用因变量的记号来表示函数，,将,是,的函数，记为,构成函数的二要素：,（1）定义域,（2）对应法则,如果两个函数的定义域和对应法则都相同,则这两个函数相等。否则，就不相等。,函数的定义域的求法：,（1）,有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义来求,自由落体运动中位置函数与时间的函数关系为,比如，,开始下落的时刻为,落地的时刻为,它的定义域是什么？,（2）,抽象地用算式表达的函数,约定：,这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数 所组成的集合,这样的定义域称为自然定义域。,在这一约定下，一般
7、的用算式表达的函数可用,表达，,不必再写为,例如,函数,的定义域是,函数,的定义域是,在函数的定义中，,对每个,对应的函数值,总是唯一的，,这样的函数称为单值函数。,如果给定一个对应法则，,按照这个法则，,对每个,，,总有确定的,值与它对应，,但这个,的个数不总是唯一的，,则称,这种法则,确定了一个多值函数。,例如：,设变量,和,之间的对应法则由方程,给出.,对每个,由方程,可确定出对应的,值:,当,对应于,(一个值),当,对应于,(两个值),这是一个多值函数.,可化为单值函数来研究.,若附加条件:,则得到,若附加条件:,则得到,单值分支,(单值函数),(单值函数),函数的表示法:,(1)表格
8、法,(2)图形法,(3)解析法,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 x 的最大整数,阶梯曲线,易知:,(3) 狄利克雷(Dirichlet)函数,(4) 取最值函数,作业:,P21,习题1-1 1,3-6,(5) 绝对值函数,定义域,值域,它的图形：,例1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,例2,解,故,2、函数的特性,(1)函数的有界性:,设函数,的定义域为,，,数集,如果存在数,，,使得,对每个,都成立，,则称函数,在,上有上界.,(有下界),如果存在正数,，,使得,对每个,都
9、成立，,则称函数,在,上有界.,如果这样的,不存在,则称函数,在,上无界.,函数,在,上无界,即:,如果对于任意正数,总存在,使,成立.,例如:,函数,在,内,显然, 对每个,都成立.,在,内有上界.,又易知, 对每个,都成立.,在,内有下界.,还可知道:, 对每个,都成立.,在,内有界.,又例如:,函数,在,内,有,在,内,有下界.,但是,它在,内,没有上界,它在,内,是无界的.,不存在这样一个正数,使,对每个,都成立.,(2) 函数的单调性:,(3) 函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(4) 函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,3、反函数与复合函数,反函数是逆映射的一
10、种特例.,定义,设函数,是单射,则存在逆映射,称此映射,为函数,的反函数.,按定义,对每个,有唯一的,满足,这表明:,反函数,的对应法则完全由函数,的对应法则确定.,例如,是单射,所以,它的反函数存在,反函数为:,对调,得,一般地，将函数,的反函数记为,定理,若函数,是,上的单调函数，,则它的反函数,一定存在，,并且,也是,上的单调函数（其单调性与函数,的单调性相同）,（自证）,相对于反函数,原来的函数,称为直接函数.,反函数的图形与直接函数的图形的关系:,关于直线,对称.,复合函数是复合映射的一种特例.,定义,设函数,的定义域为,函数,在,上有定义,且,则由下式表示的函数,称为由函数,与函数
11、,构成的,复合函数.,它的定义域为,变量,称为中间变量.,函数,与函数,的复合函数通常记为,即,与复合映射一样,函数,与函数,能构成复合函数,的条件是:,否则,不能构成复合函数.,例如:,函数,与函数,能构成复合函数,又如:,函数,与函数,不能构成复合函数,，,但是，,若将函数,限制在它的定义域的一个子集,上，,令,，,那么，,因而，,与,能构成复合函数,，,习惯上，为了简便起见，仍称函数,是由函数,与,的复合函数。,这里,的定义域应理解成：,以后我们采取这种习惯说法 。,能构成复合函数,，它的定义域,一般地，,能构成复合函数,其定义域,不能构成复合函数。,能构成复合函数,，它的定义域,两个以
12、上函数也能构成复合函数，只要它们顺次满足,构成复合函数的条件。,例,能构成复合函数,它的定义域,例3,解,是有界函数,是偶函数,是周期函数,不是单调函数,：,(但无最小正周期),例4,解,综上所述,4、函数的运算,设函数,的定义域分别为,且,则可定义两个函数的下列运算:,和( 差 ),积,商,例,设函数,的定义域为,证明:,必存在,上的偶函数,和奇函数,使得,(P16,例11自己看),5、初等函数,(1) 基本初等函数,i).幂函数,ii).指数函数,iii).对数函数,iv).三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,v).反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,例如,都是初等函数,3、双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,(1) 双曲函数,奇函数,有界函数,双曲函数常用公式,(2) 反双曲函数,奇函数,奇函数,小结,基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数,复合函数,函数的运算,初等函数,作业:,P21,习题1-1 8-10, 12(单),13,14,15(1)(4),16,18.,
