第14讲 麦克斯韦方程组(II)

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1、电磁场与电磁波,主讲：史琰,Field and Wave Electromagnetics,L,2,2,Maxwell通过深入的分析，研究并创新地提出了位移电流，最后完成电磁大综合，而且预言了电磁波的存在，其速度为光速c，给出了光和电磁统一学说 ：Maxwell方程组。,Review,微分形式,积分形式,全电流定律,法拉第电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定理,L,3,3,Review,“平衡”电磁波也正是这种“平衡”的产物,L,4,4,麦克斯韦小传,麦克斯韦(James Clerk Maxwell 18311879)英国物理学家 16岁进入爱丁堡大学，后转入剑桥大学研习数学，毕业后留校任职。

2、1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责筹建该校的第一所物理学实验室卡文迪许实验室，1874年建成后担任主任。1879年11月5日在剑桥逝世，终年只有49岁。,爱因斯坦在自传中说：“在我求学的时代，最吸引人的题目就是麦克斯韦的理论”，“狭义相对论起源于麦克斯韦的电磁场方程”。1931年，在纪念麦克斯韦诞生100周年时，爱因斯坦把麦克斯韦的电磁场贡献评价为“自牛顿时代”以来物理学所经历的最深刻最有成效的变化。” 一位著名的现代物理学家曾感叹说：“麦克斯韦的思想是太不平常了，甚至像亥姆霍兹和波耳兹曼这样有异常才能的人，为了理解它，也花了几年的力气。”,L,5,5,第16讲 麦克斯韦方程组(I

3、I),Maxwell方程组的逻辑关系 本构关系 时变电磁场的边界条件 坡印亭能量定理 电磁位,L,6,6,Maxwell方程组的逻辑关系,麦克斯韦方程组并非相互独立的四个方程 只有三个独立的方程,L,7,Maxwell方程组的逻辑关系,麦克斯韦方程组的两个旋度方程以及电流连续性方程可构成时变电磁场一组独立的方程，该组方程中共含有七个独立的标量方程。,L,8,8,Maxwell方程组的逻辑关系,麦克斯韦方程是描述电磁普遍规律的数学描述，已被证明适用于任何情况的电流连续性方程亦可通过Maxwell方程得到(电流连续性方程隐含在麦克斯韦方程组中) 。 场源 J 和 之间不是互相独立。 在实际工程中，

4、通常采用给定场源 J 的条件下求解电磁场。,L,9,9,Maxwell方程组的逻辑关系,例1 已知在无源的自由空间中 其中E0、为常数，求 。 解 区域无源，即所研究区域内没有场源电流和电荷： J = 0, = 0,L,10,10,本构关系,麦克斯韦方程组中含有5个矢量，1个标量，即一共16个标量 独立的标量方程只有7个 麦克斯韦方程无法完全确定四个电磁场矢量 需要另有9个独立的标量方程来约束电磁场 本构方程 描述电磁介质与场矢量之间的本构(constitutive)关系 本构方程与麦克斯韦方程构成自身一致的方程组,L,11,11,本构关系,表征媒质宏观电磁特性的本构关系为 对于各向同性的线性

5、媒质,L,12,12,本构关系,：介电常数 ：磁导率 ：电导率 =0为理想介质； =为理想导体； 电导率介于二者之间称为电介质； 真空中：= 0，= 0，=0 介质性质： 线性(linear)介质：介质参数与场强大小无关 各向同性(isotropic)介质：介质参数与场强方向无关 均匀(homogeneous)介质：介质参数与位置无关 色散(dispersive)介质：介质参数与场强频率有关,L,13,本构关系,对于色散媒质，当一个包含多个频率的信号在其中传播时，由于不同频率信号的传播速度不相同，从而引起信号的失真。,L,14,14,洛仑兹力,电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有

6、作用力。 当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v 运动的点电荷q所受的力为 如果电荷是连续分布的，其密度为，则电荷系统所受的电磁场力密度为 洛仑兹力公式 近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。,L,15,15,时变电磁场边界条件,麦克斯韦方程组的微分形式只适用于场矢量的各个分量处处可微的区域 对于实际的区域，会有很多结构引起电磁场场量的不连续性，需要通过边界条件来确定分界面上的电磁场特性： 不同介质的分界面上会存在束缚面电荷、面电流 分界面上也可能存在自由面电荷、面电流 在这些面电荷、面电流的影响下，场矢量在分界面可能不连续 边界条件是描述场矢量越过分界面时场量变化

7、规律的一组方程，由积分方程形式的麦克斯韦方程组得到。,L,16,16,时变电磁场边界条件,矢量分解(I) 取界面法向单位矢为n 该点处场矢为F F 可以是任意一个场矢 (E, D, H, B) 第一项在法向方向，称为法向分量 第二项垂直于法向方向，称为切向分量 任意一个矢量都可以分解成为法向分量和切向分量的合成矢量,L,17,17,时变电磁场边界条件,矢量分解(II),L,18,18,时变电磁场边界条件,111,222,S,法向分量边界条件 两种相邻介质分界面的任一横截面,L,19,19,时变电磁场边界条件,电场法向边界条件 电通量 如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为 由高

8、斯定理,L,20,20,时变电磁场边界条件,若分界面上无自由面电荷 分界面上有自由面电荷，电位移矢量D 法向分量Dn不连续，有一等于面电荷密度S的突变； 分界面上无自由面电荷，则电位移矢量D 法向分量Dn连续； 分界面两侧的电场强度矢量的法向分量En一般不连续。,L,21,21,时变电磁场边界条件,磁场法向边界条件 由磁通连续性原理 由本构关系可知,L,22,22,时变电磁场边界条件,切向分量边界条件 n：由媒质 2 指向媒质 1的界面法向单位矢量 l：l中点处分界面的切向单位矢量 b：垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系的单位矢量,111,222,L,23,23,时变电磁场边界条件,电场切向边

9、界条件 考虑麦克斯韦方程组推广的法拉第电磁感应定律 积分回路上的积分结果 面积分结果 切向边界条件,L,24,24,时变电磁场边界条件,磁场切向边界条件 考虑麦克斯韦全电流定律： 积分回路上的积分结果 位移电流积分结果,L,25,25,时变电磁场边界条件,若分界面的薄层内有自由电流， 则在回路所围的面积上 因此 切向边界条件 面电流密度方向为分界面的切向 标量形式的边界条件：,L,26,26,时变电磁场边界条件,若分界面上没有自由面电流 分界面上有自由面电流时，磁场强度切向分量不连续 分界面上无自由面电流时，磁场强度切向分量连续 磁感应强度的切向分量一般不连续,L,27,27,时变电磁场边界条

10、件,时变电磁场的边界条件：,L,28,28,时变电磁场边界条件,理想介质的边界条件 理想介质：=0 无欧姆损耗的简单介质 理想介质表面无自由面电荷和自由面电流,矢量形式的边界条件,标量形式的边界条件,L,29,29,时变电磁场边界条件,理想导体边界条件 理想导体： 理想导体内部场为零 理想导体表面的边界条件,电力线垂直导体表面,磁力线平行导体表面,L,30,30,时变电磁场边界条件,例 2 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧 为理想导体，分界面处的磁场强度为 试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分 界面处的电场强度。 解,利用理想导体与空气介质分界面上的电流连续性原理,

11、L,31,31,利用理想导体与空气介质分界面上的电流连续性原理 若在初始时刻面电荷为零： t = 0 时，S=0 由电场边界条件：,时变电磁场边界条件,L,32,32,时变电磁场边界条件,例3 设区域(z0)的媒质参数r2=5, r2=20, 2=0。 区域中的电场强度为 区域中的电场强度为 试求： (1) 常数A； (2) 磁场强度H1和H2； (3) 证明在z = 0处H1和H2满足边界条件,L,33,33,时变电磁场边界条件,解 (1)在介质分界面上介质I及介质II中的电场强度为： 显然，电场强度均在分界面的切向方向，应用电 场强度切向连续边界条件可得： (2)由麦克斯韦方程组可知 (3

12、)在介质面上考察磁场强度的切向方向，可知,L,34,34,时变电磁场的能量,与静电场和恒定磁场一样，时变电磁场也具有能量 更重要的是特有的能量流动现象。 当随时间变化的电磁场以恒定的速度传播时，必将伴随着能量的传播，形成电磁能流。 在随时间变化的电磁场的任一给定区域中，电磁场的能量不再是恒量。 在自然界中，能量是守恒的 作为物质的一种特殊形态电磁场，遵循自然界一切物质运动过程的普遍法则能量守恒和转化定律,电磁能量守恒坡印亭定理,L,35,表达时变电磁场中能量守恒和转换关系的定理 1884年由英国物理学家坡印亭(John. H. Poynting)提出 考虑电磁场存在于一有耗的导电媒质中，其中自

13、由电流源密度为 。在该媒质中，两个Maxwell旋度方程为,坡印亭定理(Poyntings Theorem),根据矢量恒等式,L,36,36,坡印亭定理,在体积V上积分可得,一般介质中的坡印亭定理：,L,37,37,坡印亭定理,矢量恒等式,各向同性线性介质的本构方程,L,38,38,时变电磁场的能量,各向同性线性介质的坡印亭定理 Note1： we=1/2(DE)为电场能量密度（单位是J/m3） Note2： wm=1/2(BH)为磁场能量密度（单位是J/m3） Note3：方程右侧体积分第一项表示了储存在V中电磁 能量随时间的增加率（单位是W） Note4：方程右侧体积分第二项表示了体积V中

14、的热损 耗功率（单位是W）（单位时间以热能形式损耗 在体积V内的能量） Note5：方程左侧的体积分表示了体积V中的源 产生 的功率（单位是W）,L,39,39,时变电磁场的能量,根据能量守恒定理，上式中的面积分必定代表单位时间内穿过体积V的表面S流出体积V的电磁能量。 定义： Note1：坡印廷矢量，单位是W/m2 Note2：通过S面上单位面积的电磁功率 Note3：坡印亭矢量也称为电磁功率流密度或能流密度 其方向代表该点功率流方向 其大小代表通过与能量流动方向垂直的单位面积的功率,L,40,40,时变电磁场的能量,空间任一点处能量密度变化,实际上，坡印亭矢量并不一定代表真实的电磁功率流密

15、度 表示了流出封闭面的总能流； 有电磁场存在的地方就有 ，但这并不表示该处一定有能量的流动； 真正表示空间任一点处能量密度变化的是 .,L,41,41,时变电磁场的能量,静电场和静磁场中的坡印亭矢量 自由电流为零 媒质无耗 场中任何一点，单位时间流出包围体积V表面的总能量为零，即没有电磁能量流动 在静电场和静磁场情况下， 并不代表电磁功率流密度。,L,42,42,时变电磁场的能量,恒定电流场坡印亭矢量 自由电流为零 恒定电流场中， 可代表通过单位面积的电磁功率流 通过 S 面流入 V 内的电磁功率等于 V 内的损耗功率,L,43,43,时变电磁场的能量,时变电磁场中的坡印亭矢量(自由电流为零

16、) 代表瞬时功率流密度 坡印亭矢量通过任意截面积的面积分代表瞬时功率,L,44,44,时变电磁场的能量,例4 试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长 直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。 解 一段长度为l的长直导线，其轴线 与圆柱坐标系的z轴重合，直流电 流均匀分布在导线的横截面上 焦耳定律 安培环路定理,L,45,45,时变电磁场的能量,导线表面的坡印廷矢量 方向指向导线的表面。 坡印廷矢量沿导线段表面积分：,从导线表面流入的电磁能流等于导线内部欧姆热损耗功率,L,46,46,时变电磁场的能量,例5 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、 外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量 解 设内导体单位长度带电为l 考虑同