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1、高等数学软件工程硕士辅导基本概念与练习一、求函数极限1极限定义：设在点的某去心邻域内有定义，为常数，如果对于任意给定的正数，总存在，当，有，称在趋于时有极限，并称为在的极限。记做。2的充要条件：3求极限的方法（1）若在连续，则（2）“”型1）等价代换：当时 2）洛必达法则：（3）“” 1）利用重要极限2）化为“”型（4）有界量与无穷小乘积仍是无穷小。（5）利用泰勒公式：掌握和在x=0点的泰勒展开求极限。二、无穷小的比较极限为零的变量。，称在时为无穷小设在时为无穷小，则如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小；如果，就说与同阶的无穷小；如果，就说与是等价的无穷小，记作。如果，
2、且，则三、连续（注意不讨论间断点及其类型）1定义：如果那么就称函数在点连续。2主要条件：（由此可求两个参数）四、导数与微分1导数定义：=， 和 2充要条件： 3必要条件：可导必连续4几何意义：切线斜率.切线方程5微分：， 题型 求分段函数在分段点的导数使用定义，其他点使用公式五导数计算1初等函数求导公式（16个求导公式，5个求导法则）导 数 公 式微 分 公 式（1）（2） ，（3）。 (4) 复合函数导数，称为中间变量，参数方程求二阶导数 ，隐函数求二阶导数：F(x,y)=0 ,方程两边对求导，的函数看成的复合函数4.几分上限函数求导六、函数不等式的证明1方法：利用最值，单调性和拉格朗日中值
3、定理证不等式单调性：单调升：，当时单调降：，当时，单调升，单调降利用单调性证不等式，证，拉格朗日中值定理：在连续，在可微，则有落在之间。2求导时最多到二阶七、求函数最值邻域：，极值：当或者称为极大值（极小值），极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点成为极值点定理：如果在可导，并且取得极值，则导数为零的点称为驻点。判别极值一个是利用单调性，一个是利用二阶导数，定理：，极小值，反之是极大值。求最值：求出不可导点及驻点，计算这些点的函数值及边界点的函数值，找这里最大的就是最大值，最小的就是最小值。如果是实际问题，并且只有一个驻点，这个驻点就是所求的最值点。八、不定积分1原函数：在区间上，若，称
4、为的一个原函数。2不定积分：在区间上，的原函数的全体称为的不定积分，记为3掌握下列基本公式 是常数) , (11)(12)(13)4凑分法：掌握下列常用凑分法（1）（2） （3）（4）（5）5换元法掌握：含时，令含时令6分布积分法： 掌握（1）（2）（3）（4）一般如果被积函数是多项式与指数函数或者三角函数乘积，选多项式为指数函数或者三角函数为；如果被积函数是多项式与对数函数或者反三角函数乘积，选多项式为对数函数或者反三角函数为；九、定积分1牛顿-莱布尼茨公式2几何意义：曲边梯形面积3定积分换元法4定积分的分部积分法：6（1）若在上连续且为偶函数，则 （2）若在上连续且为奇函数，则 7周期函数
5、的积分，8绝对值函数的积分：去掉绝对值，令=0，找出是=0 的9面积（与为积分变量），体积（绕轴旋转的旋转体的体积）1）面积一个函数且，二个函数且不知道大小2）体积：，十、微分方程1可分离变量微分方程的通解与特解。标准型：解法：2一阶线性微分方程通解与特解，标准型通解：3二阶常系数线性齐次方程通解。标准型，其中常数。解法：特征方程：，特征根通解4二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型，其中常数，解法：通解，其中为对应齐次方程通解，为本身的特解。，其中，十一、向量与空间解析几何（不单独出题，与多元微分学结合出题）1向量：既有大小又有方向的量（1）表示法（2）模：，称为单位向量（3）方向：方向余弦：
6、，（4）与方向一致的单位向量2直线的点向式方程：直线过点且与方向向量平行，则的方程为：3平面的点法式方程：平面过点且与法向量垂直，则的方程为：十二、多元函数微分学1多元函数偏导数与全微分（1）二元函数在点对的偏导数：，连续时，（2）二元函数的全微分 2多元复合函数求偏导数设函数和在点分别具有对和的偏导数，而对应的函数在相应的点具有对和的连续偏导数，则复合函数在点具有对的偏导数，且若和二阶可导，具有二阶连续偏导数，则.空间曲线切线与法平面方程设空间曲线在参数，切向量，切线方程：法平面方程：5空间曲面的切平面与法线方程设空间曲面：在切点，法向量切平面方程：，法线方程：设空间曲面：在切点，法向量切平
7、面方程：，法线方程：6方向导数与梯度(1) 方向导数：函数f (x , y , z)在()点沿方向e的方向导数=（2）梯度：函数f (x , y , z)在()点的梯度（3）梯度的意义：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值7条件极值条件极值问题可表述为：求函数在条件下的极值。方法：构造拉格朗日函数，令，解出，代入，其中最大（小）者为最大（小）值。十三、二重积分1积分形式：2几何意义：曲顶柱体体积。当时，为的面积。3计算方法：积分区域D为X型区域，=，积分区域D为Y型区域，=，积分区域D在极坐标系下可以用不等式 题型 积分交换顺序问
8、题题型b 极坐标问题:圆心在原点的圆或圆的一部分或圆环或圆环的一部分十四、第二类曲线积分（平面上）1积分形式：2计算方法：（1）设参数化定积分1）L：由（起点）变到（终点），2）：，从（起点）变到（终点）3）：，从（起点）变到（终点）（2）格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有，（1）其中L是D的取正向的边界曲线.曲线积分与路径无关的条件：曲线积分与路径无关的充要条件是在内恒成立十五、级数（重点幂级数，会求幂级数收敛半径，收敛域及展开与求和）1定义。数列，称=为级数，令，得，若，称无穷级数收敛,这时极限叫做这级数的和,并写成=;如果没有极限,则称无穷级数
9、发散.级数收敛的必要条件 如果级数收敛,则它的一般项趋于零,即2特殊级数（1）级数当时收敛，当时发散（2）等比级数当收敛,且其和为;当时,等比级数发散3交错级数的莱布尼茨定理判别法：若（1）（2）则级数收敛4幂级数（1）收敛半径，收敛域：如果其中是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径开区间叫做幂级数的收敛区间。再由幂级数在处的收敛性就可以决定它的收敛域是或这四个区间之一。5等比级数：（1），（2），（3）（4）6利用等比级数将函数展为幂级数7利用等比级数求幂级数的和第一套练习题一、填空题 1、_2、设函数，则_3、设，则_,_；4、微分方程的通解 特征方程，特征根，故通解为5、设函数，
10、则_6、 7、曲面在点处的切平面方程为 ，法线方程为 切平面方程为法线方程为二、 证明：当时，令，在使用拉格朗日定理有其中，由单调升，有，故三、 已知，求常数，使得于处可导，并求可导必连续，故，即，故，从而四、 设，求及方程两边对求导得，故， 五、 设 写出满足的二阶常微分方程； 求的表达式方程两边对求导得即特征方程为，特征根为齐次方程通解为：当为非齐次方程的特解，故，六、 求幂级数的收敛域、和函数并求出和 ，收敛域令，则，故七、 计算，其中是双扭线所围城的闭区域，八、 设，求使。， ，故九、 在曲面求一点，使得函数在该点沿方向的方向导数最大，设为曲面上的任意一点，则函数在该点的方向导数为令，
11、带入第四个方程，有故所求点为十、 设曲线为椭圆，为圆周。和都取逆时针方向。记证明，并求的值，由格林公式有，故，从而即第二套练习题一、填空题 1、_2、=_3、 ；，4、微分方程()的通解 特征方程，( ,从而通解）5、的收敛域为： ，在发散；在收敛，收敛域；6、 7、曲面在点处的切平面方程为： ，切平面方程为二、 证明：当时，。 (1) (2)(1)+(2)得三、 已知于处具有三阶导数，并且，证明：。解2四、 设，求及 五、 设曲线积分在整个平面内与路径无关，其中二阶可导， 写出满足的二阶常微分方程； 求的表达式 由积分与路径无关有微分方程：齐次方程的特征方程：，特征根：非齐次方程的特解：，将其求导带入原方程得 ，故六、 将展成的幂级数。、七、 计算，其中是有圆所围城的闭区域，八、 设，求。 九、 求函数在点处沿方向的方向导数设，当， 十、设曲线（1）求在点处的切线方程；（2）求由该切线、轴与围成的平面图形面积；（3）求上述平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积（1） 切线方程：（2）（3）第三套练习题一、填空题 1、 2、使得的二次三项式的 3、设，则 4、微分方程的通解 ，5、= ，从而 6、 7、曲面在点处的切平面方程为 法线方程为 二、 设，确定的范围使得令，显然，当，三、 已知，（1）讨论的连续性，并求出其连续区间；（
