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1、1,第二章 连续系统的时域分析,2.1 引言,2.2 微分方程的式的建立与求解,2.3 系统的冲激响应,2.4卷积的图解和卷积积分限的确定,2.5卷积积分的性质,2020/7/12,2,2.1 引言,2020/7/12,3,系统数学模型的时域表示,时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。,本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。,2020/7/12,4,系统分析过程,经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决 h(t)；,卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方
2、法),2020/7/12,6,2.2 微分方程的式的建立与求解,2020/7/12,7,主要内容,物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法,复习求解系统微分方程的经典法,2020/7/12,8,许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,一微分方程的列写,2020/7/12,9,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件
3、互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。,2020/7/12,10,二求解系统微分方程的经典法,分析系统的方法：列写方程，求解方程。,求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。,2020/7/12,11,齐次解： 由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解： 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,经典法,全 解： 齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。,2020/7/12,12,我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ， 响应为 时的方程的解，初始条件,初始条件
4、的确定是此课程要解决的问题。,2020/7/12,13,三 零输入响应和零状态响应,起始状态与激励源的等效转换 系统响应划分 对系统线性的进一步认识,2020/7/12,14,1起始状态与激励源的等效转换,在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。,电容的等效电路,电感的等效电路,2020/7/12,15,2系统响应划分,自由响应强迫响应 (Natural+forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state),2020/7/12,16,也称固有响应，由系统本
5、身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,(1)自由响应：,强迫响应：,3、各种系统响应定义,2020/7/12,17,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,(2)暂态响应：,稳态响应：,2020/7/12,18,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,(3)零输入响应：,零状态响应：,2020/7/12,19,系统零输入响应，实际上是求系统方程
6、的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。,系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值 为零决定的初始值求出待定系数。,求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。,4、求解,系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即,2020/7/12,20,系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号 作用下的响应，用 表示。,2.3 系统的冲激响应,2020/7/12,21,由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作用，而在t0的区间恒为零。也就是说，激励信号 的作用是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量，贮存在系统的各贮能元件中，而在t0系统的激励为零，只有冲激引入
7、的那些贮能在起作用，,因而， 系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定。,2020/7/12,22,列微分方程：,一、简单电路可直接计算,2020/7/12,23,上式从 到 取积分，得,电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到,由三要素公式得,当 时，,此时电路是一个特殊的零输入响应。,2020/7/12,24,与RL电路相对偶，可得RC电路的冲激响应,2020/7/12,25,二先计算系统的阶跃响应 ，然后利用冲激响应 与阶跃响应 的关系求冲激响应,与 的关系（线性时不变系统）,2020/7/12,26,2020/7/12,27,2020/7/12,28,例：如图所示电路，R1=R2=1,c=1F,
8、求阶跃响应和冲激响应,解：先用三要素法求阶跃响应,2020/7/12,29,从波形图上也能得到同样的结论：,2020/7/12,30,三、 从微分方程求解得冲激响应 当已知微分方程时，求解冲激响应有两种方法。,(1)间接法：人为假设描述n阶连续系统的微分方程右侧只有一项，为,则有,2020/7/12,31,当 时，由因果性,为保证等式两边平衡，只能是第n阶导数项包含冲激函数 。而且只有一项。这时,则n-1阶导数项包含 ，而n-2阶导数项包含 ,当 时，由于 将是一个特殊的零输入响应，它取决于 时的n个初始条件。,2020/7/12,32,在t=0处，只有 是不连续的，而其余的如 等都是连续的，
9、因而 的低于n-1阶导数在t=0处是连续的。即,注意： ， ， ， 是一族很有用的函数。,只有,2020/7/12,33,对上述微分方程两边取积分,上式左边只第一项不为零，其他项为零,单位冲激信号引起的t=0+时的n个初始条件为,2020/7/12,34,一、 卷积的图解,能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定更为一般的卷积积分的上下限。,进一步加深对其物理意义的理解。,2.4卷积的图解和卷积积分限的确定,2020/7/12,35,4.相乘,5.积分 求函数 的面积。,求响应，必须：,1.换元（t),2020/7/12,36,2020/7/12,37,(1)当-1+t0即t1时，,y(t
10、)=0,移动距离 t 前沿坐标-1+t,两函数无公共的非零区域,2020/7/12,38,2020/7/12,39,2020/7/12,40,2020/7/12,41,解：(1)当t0时,y(t)=0,2020/7/12,42,2020/7/12,43,二、 卷积的另一种计算方法,当被卷积函数中有分段连续函数时， 直接用公式,2020/7/12,44,用图解来说明。,2020/7/12,45,2020/7/12,46,2020/7/12,47,2020/7/12,48,一、 卷积代数,(1)交换律,如，输入和冲激响应的函数表达式互换位置，则零状态响应不变。,2.5卷积积分的性质,2020/7/
11、12,49,证：,2020/7/12,50,(2)分配律,利用卷积的定义比较容易得到,两个子系统并联,2020/7/12,51,2020/7/12,52,两次卷积运算是二重积分，变换积分次序可得。,(3)结合律,两个子系统级联,2020/7/12,53,二、 卷积的微分与积分,(1)卷积的微分性质,2020/7/12,54,(2)卷积的积分性质,(3)卷积的微积分性质,当为正整数时，表示求导数的阶数，当为负整数时，表示求重积分的次数。,2020/7/12,55,注意：应用微积分性质时，被积分的函数应为可积函数，被求导的函数在 处应为零值。,2020/7/12,56,三、 含有冲激函数的卷积,由
12、第二章第二节，任意信号的分解，记为,2020/7/12,57,即：任意函数 与单位冲激函数 的卷积仍为该函数本身。,即：,即：任意函数 与延迟冲激函数 的卷积只是把该函数 延迟了时间 ，而其波形不变。此性质称为冲激函数的重现性。,2020/7/12,58,冲激函数三个常用性质小结：,1.筛选性：(抽样性),2.加权性：,3.重现性：(“照相”),写详细，为,2020/7/12,59,利用微积分性质还可以得到,推广后，有,利用卷积的性质能大大简化卷积计算。,2020/7/12,60,2020/7/12,61,解：这类题只需要画图即可。,2020/7/12,62,2020/7/12,63,解：,2
13、020/7/12,64,2020/7/12,65,2020/7/12,66,2020/7/12,67,2020/7/12,68,例：已知波形如图，求,2020/7/12,69,2020/7/12,70,例：已知波形如图，求,解：直接求卷积比较复杂，利用卷积的性质及函数与冲激函数的卷积较为简便,2020/7/12,71,结果如图所示,2020/7/12,72,2020/7/12,73,2020/7/12,74,解：列电路微分方程,2020/7/12,75,代入数值,代入初始条件,2020/7/12,76,要求零状态响应，须先求得电路的冲激响应,直接法，设,代入微分方程,2020/7/12,77,电路的零状态响应电压,全响应,2020/7/12,78,解：设辅助函数,2020/7/12,79,要求零状态响应，须先求冲激响应,直接法有,2020/7/12,80,代入原微分方程整理得,零状态响应为,2020/7/12,81,最后，介绍 杜阿密尔积分,2020/7/12,82,
