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1、第二章 波函数和 Schrodinger 方程,1 波函数的统计解释 2 态叠加原理 3 力学量的平均值和算符的引进 4 Schrodinger 方程 5 粒子流密度和粒子数守恒定律 6 定态Schrodinger方程,1 波函数的统计解释,（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质,3个问题？,描写自由粒子的平 面 波,如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：,描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。,称为 deBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。,(1) 是怎样
2、描述粒子的状态呢？,(2) 如何体现波粒二象性的？,(3) 描写的是什么样的波呢？,（一）波函数,两种错误的看法,1. 波由粒子组成,如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,O,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性
3、。,1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;,我们再看一下电子的衍射实验,2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,（二）波函数的解释,r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。,结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。,在电子衍射实验中，照相底片上,据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规
4、律性，波函数(r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。,假设衍射波波幅用 (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |(r)|2 描述，但意义与经典波不同。,| (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小，确切的说，| (r)|2 x y z 表示在 r 点处，体积元xyz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，,（三）波函数的性质,在t时刻，r点，d=dxdydz体积内，找到由波函数(r,t) 描写的粒子的几率是：d W( r, t) = C| (r,t)|2 d，
5、其中，C是比例系数。,根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：,（1）几率和几率密度,在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是： w( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 称为几率密度。,在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = Vw( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d,（2）平方可积,由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d,这即是要求描写粒子量子状态
6、的波函数必须是绝对值平方可积的函数。,若, | (r , t)|2 d , 则 C 0, 这是没有意义的。,（3）归一化波函数,这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。, (r , t ) 和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：,由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后
7、，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态,可见， (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。,归一化常数,若 (r , t ) 没有归一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常数），则有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1,也就是说，(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数， 与 (r , t )描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一化因子。,注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 若 (r , t )是归一化波函数，那末， expi (r , t )
8、也是归一化波函数（其中是实数），与前者描述同一几率波。,（4）平面波归一化,I Dirac 函数,定义：,或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数 f（x）有：,函数 亦可写成 Fourier 积分形式：,令 k=px/, dk= dpx/, 则,性质：,II 平面波 归一化,写成分量形式,t=0 时的平面波,考虑一维积分,若取 A12 2 = 1，则 A1= 2-1/2, 于是,平面波可归一化为,函数,三维情况：,其中,注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。,作 业 补 充 题,2 态叠加原理,（一）态叠加原
9、理 （二）动量空间（表象）的波函数,（一）态叠加原理,微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。,考虑电子双缝衍射,= C11 + C22 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,电子
10、穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项 正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。,一个电子有 1 和 2 两种可能的状态， 是这两种状态的叠加。,态叠加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于2态.，部分的处于n，.,一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加 = C11 + C22 也是该体系的一个可能状态.其中C1 和 C2
11、是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。,例：,电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量 p 运动。具有确定动量的运动状态用deBroglie 平面波表示,根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即,而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。,p,（二）动量空间（表象）的波函数, (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。,波函数(r,t) 可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。,展开系数
12、,令,则 可按p 展开,若 (r,t)已归一化，则 C(p, t)也是归一化的。,3 力学量的平均值和算符的引进,（一）力学量平均值 （1）坐标平均值 （2）动量平均值 （二）力学量算符 （1）动量算符 （2）动能算符 （3）角动量算符 （4）Hamilton 算符,（一）力学量平均值,在统计物理中知道：,当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。,（1）坐标平均值,为简单计，剩
13、去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 设(x) 是归一化波函数，| (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则,对三维情况，设(r) 是归一化波函数，|(r)|2是粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为,（2）动量平均值,一维情况：令(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为,既然(x) 是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(px) 一 一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用(x)表示出来。但是(x)不含px变量，为了能由(x)来确定动量平均值，动量 px必须改造成只含自变量 x 的形式，这种形式称为动量 px的算符形式，记为,（二）力学量算
14、符,简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。,（1）动量算符,一维情况：,比较上面二式得两点结论：,而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：,三维情况：,由归一化波函数(r)求 力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在*(r)和(r)之间,对全空间积分，即,F 是任一 力学量算符,（2）动能算符,（3）角动量算符,（4）Hamilton 算符,作 业 补充题,4 Schrodinger 方程,（一）引 （二）引进方程的基本考虑 （三）自由粒子满足的方程 （四）势场V(r)中运
15、动的粒子 （五）多粒子体系的Schrodinger方程,这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方程之后得到了圆满解决。,微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：,(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数: (2)波函数如何随时间演化。,（一）引,（二）引进方程的基本考虑,从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分
16、方程。,让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。,（1）经典情况,（2）量子情况,3第三方面，方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,1因为，t = t0 时刻，已知的初态是( r, t0) 且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间 的一阶导数。,2另一方面，要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。,（三）自由粒子满足的方程,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将对坐标二次微商，得：,
