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1、第八章 弯曲应力,8-1 概 述,纯弯曲：,横力弯曲：,在横截面上，只有法向内力元素dN=dA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=dA才能合成剪力Q,8-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,从三方面考虑：,一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:,变形几何关系,物理关系,静力学关系,再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。,推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴,中性层,中性轴,中性层
2、,二、物理关系,三、静力学关系,中性轴过截面形心,中性层的曲率公式：,正应力计算公式：,横截面上的最大正应力：,当中性轴是横截面的对称轴时：,Wz 称为抗弯截面模量,CL8TU6,8-3 横力弯曲时的正应力 正应力强度计算,上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。,弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度5倍(即l5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。,二、梁的正应力
3、强度条件,利用上式可以进行三方面的强度计算： 已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度 已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸 已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷,例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？,解：,例： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？,解：,由公式,可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。,例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a
4、为多少？,解：,主梁AB的最大弯矩,副梁CD的最大弯矩,由,即,得,例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为t和c，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）,解：,例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。,解：由题意可知,即,例：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。,C截面：,B截面：,例：简支梁AB，在截面下边缘贴一
5、应变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。,解：,C点的应力,C截面的弯矩,由,得,例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？,解：,C截面下边缘的应力,C截面的弯矩,应变值,例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。,解：,例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,解：,由此得,8-4 弯曲剪应力和强度校核,一、矩形截面梁的剪应力,二、工字形截
6、面梁的剪应力,腹板,翼缘,在腹板上：,在翼缘上，有平行于Q的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。,在翼缘上，还有垂直于Q方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。,腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。,对于标准工字钢梁：,三、圆截面梁的剪应力,下面求最大剪应力：,弯曲剪应力强度条件,例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径dmin。,解：,由正应力强度条件：,由剪应力强度条件：,8-5 提高梁强度的主要措施,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以,作为梁设计的主要依
7、据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。,一、梁的合理截面,合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。,二、合理安排梁的受力情况,三、采用变截面梁,梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力时，称为等强度梁。,8-6 非对称截面梁平面弯曲的条件 开口薄壁截面梁的弯曲中心,一、非对称截面梁平面弯曲的条件 前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。 对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy、xOz,形心主惯性平面,y、z轴为形心主惯性轴,对于非对称截面梁，由实验和弹性理
8、论分析可以得到它发生平面弯曲的条件是: (1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时,梁产生平面弯曲。 (2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。,二、开口薄壁截面的弯曲中心,对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。 只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面的弯曲中心，用A表示。,A,以槽钢为例说明截面弯曲中心的确定方法。,剪应力合力的作用点就是截面弯曲中心的位置,薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则: (1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。 (2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。 (3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。,试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力的方向垂直向下，试画出剪应力流的方向。,
