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1、第五节 平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,返回,在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线平面和直线.,一、平面的点法式方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线 向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量 垂直.,和它的一个法线向量,因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面II上一点,为已知时，平面的位置就完全确定了. 下面我,们来建立平面的方程.,设,是平面II任一点(图751).,那么向量必与平面II的法线向量n垂直，即 它们的数量积等于零：,由于,(1),这
2、就是平面II上任一点 M的坐标,所满足的方程 .,所以有：,反过来，如果,不在平面II上,那么向量,与法线向量,不垂直,从而,即不在平面II上,的点M的坐标x，y，z不满足方程(1).,及它的一个法线向量,由此可知，平面II上的任一点的坐标x，y，z都满足方程(1)；,不在平面II上的点的坐标都不满足方程(1). 这样，方程(1) 就是平面II的方程，而平面II就是方程(1)的图形. 由于方程 (1)是由平面II上的一点,确定的，所以方程(1)叫做平面的点法式方程.,例 1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)位法线向量的平面的方程.,解 根据平面的点法式方程(1)，得所求平
3、面的方程,(x - 2) 2(y + 3) + 3z=0,二、平面的一般方程,由于平面的点法式方程(1)式x、y、z的一次方程，而任意平 面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.,反过来，设有三元一次方程,Ax + By + Cz + D = 0.,我们任取满足方程的一组数 x0, y0, z0，即,A x0 + B y0+ C z0 + D = 0.,把上述两等式相减，得,A(x-x0 ) + B(y- y0) + C (z-z0) = 0.,把上述两等式的点法式方程(1)作比较，可以知道方程(4)是 通过点M0 (x0, y0, z0)且以n=(
4、A, B, C)为法线向量的平面方程.但方程(2)与方程(4)同解，这是因为由(2)减去(3)即得(4)，又由(4)加上(3)就得(2). 由此可知，任一三元一次(2)的图形总是一个平面.,方程(2)称为平面的一般方程，其中x, y, z的系数就是该平面 的一个法线向量n的坐标，即n=(A, B, C).,表示一个平面，n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量.,对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点.,当D=0时，方程(2)成为Ax + By + Cz = 0，它表示一个通过 原点的平面.,当A=0时，方程(2)成为Bx + Cz + D = 0，法线向量n(0, B,
5、C) 垂直于x轴，方程表示一个平行于x轴的平面.,同样，方程Ax + Cz + D = 0和Ax + By + D = 0，分别表示一个平行于y轴和z轴的平面.,当A=B=0时，方程(2)成为Cz + D=0或z=-,n(0, 0, C)同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于xOy面的 平面.,，法线向量,例 3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.,解 由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是 法线向量在x轴上的投影为零， 即A=0；又由平面通过x轴， 它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为,By + Cz = 0.,又因这平面通过点(4, -3, -1)
6、，所以有,-3B C = 0,y 3z = 0.,例 4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b,0)、R(0, 0, c)三点(图752)，求这平面的方程(其中 a,0, b,0,解 设所求平面的方程为,Ax + By + Cz = 0,因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在 这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足 方程(2)；即有,得A=-,，B=-,，C=-,方程(5)叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做 平面在x、y、z轴上的截距.,返回,三、两平面的夹角,两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,按
7、两向量夹角余弦的坐标表示式，平面II1和平面II2的夹角可由,来确定.,从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：,II1、II2互相垂直相当与,II1、II2互相平行或重合的相当于,例 5 求两平面xy + 2z 6 = 0和2x + y + z 5 = 0的夹角.,解 由公式(6)有,因此，所求夹角,例 6 一平面通过两点M1 (1,1,1)和M2 (0,1,-1)且垂直于平面 x + y + z=0,求它的方程.,解 设所求平面的一个法线向量为n=(A,B,C).,因,=(-1, 0,-2)在所求平面上，它必与n,垂直,，所以有,-A-2C=0.,又因所求的平面垂直于已知平面x+
8、y+z=0， 所以又有A+B+C=0.,由平面的点法式方程可知，所求平面方程为,A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0,将A=-2C及B=C代入上式，并约去C(C0)，使得,-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0.,这就是所求的平面方程.,例 7 设P0 (x0 ,y0 ,z0)，并作一法线向量n，由图7-54，并考虑到,与n的夹角也可能是钝角，得所求的距离(图7-54).,解 在平面上任取一点P0(x1,y1,z1)，并作一法线,向量n，由图7-54，并考虑到,与n的夹角也可,能是钝角，得所求的距离,设en为与向量n方向一致的单位向量，那么有,d=|Prjn,|.,Prjn,=,而,=(x0-x1, y0-y1, z0-z1),所以,Prjn,=,=,由于,所以 Prjn,=,由此得点P0 (x0 ,y0 ,z0)到平面,的距离公式：,d=,例如，求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离.,d=,可利用公式(9)，便得,返回,
