计算机数值方法试题.doc

《计算机数值方法试题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机数值方法试题.doc（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 数值计算方法试题一、 填空（共20分，每题2分） 1、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_.2、设一阶差商 ， 则二阶差商 3、数值微分中，已知等距节点的函数值 则由三点的求导公式，有 4、求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5、解初始值问题 近似解的梯形公式是 窗体顶端6、 ，则A的谱半径 ，A的 窗体底端窗体顶端7、 设 ，则 和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_窗体底端窗体顶端9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_ 窗体底端窗体顶端10、设 ，当 时，必有分解式 ，其中L为下

2、三角阵，当其对角线元素 足条件 时，这种分解是唯一的。 窗体底端窗体顶端二、计算题 （共60 分，每题15分） 1、设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式 窗体底端窗体顶端2、 已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 窗体底端窗体顶端3、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 窗体底端窗体顶端4、 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： 窗体底端窗体顶端三、证明题 1、 设 （1） 写出

3、解 的Newton迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 窗体底端窗体顶端2、 设R=ICA，如果 ，证明： （1）A、C都是非奇异的矩阵（2） 参考答案：一、填空题1、2.31502、 3、 4、1.55、 6、 7、 8、 收敛9、O（h） 10、 二、计算题1、1、（1） （2） 2、由 ，可得 因 故 故 ，k=0,1,收敛。 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得 ，记步长为h,对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 三、证明题1、证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式：

4、n=0,1, 得 ，n=0,1, （2）因迭代函数 ，而 ， 又 ，则 故此迭代格式是线性收敛的。 2、证明：（1）因 ，所以IR非奇异，因IR=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 (2) 故 则有 （2.1）因CA=IR，所以C=（IR）A-1，即A-1=（IR）-1C又RA-1=A-1C，故由 （这里用到了教材98页引理的结论）移项得 (2.2)结合（2.1）、(2.2)两式，得模拟试题 一、 填空题（每空2分，共20分） 1、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛 2、 迭代过程 （k=1,2,）收敛的充要条件是 3、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.718

5、2,那麽x具有的有效数字是 4、 高斯-塞尔德迭代法解线性方程组 的迭代格式中求 5、 通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足，则p(x)是不超过二次的多项式 6、 对于n+1个节点的插值求积公式 至少具有次代数精度. 7、 插值型求积公式 的求积系数之和 8、 ,为使A可分解为A=LLT, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围 9、 若 则矩阵A的谱半径 (A)= 10、解常微分方程初值问题 的梯形格式 是阶方法 二、 计算题（每小题15分，共60分） 1、 用列主元消去法解线性方程组 2、 已知y=f（x）的数据如下 x 0 2 3 f（x） 1 3 2 求二次插值多项式

6、 及f（2.5）3、用牛顿法导出计算 的公式，并计算 ，要求迭代误差不超过 。4、 欧拉预报-校正公式求解初值问题 取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. 三、证明题 （20分 每题 10分 ） 1、 明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 2、 若 ，证明用梯形公式计算积分 所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。参考答案：一、 填空题 1、局部平方收敛 2、 1 3、 4 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 8、 9、 1 10、二阶方法 二、计算题 1、 2、 3、 1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位)4、y(0.2

7、)0.01903 三、证明题 1、证明：当 =1时，公式左边： 公式右边： 左边=右边当 =x时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 故 具有三次代数精度 2、 证明：略数值计算方法试题一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。3、已知是三次样条函数，则=( )，=（ ），=（ ）。4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。5、设和节点则 和。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公

8、式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则 。8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。10、 设，当（ ）时，必有分解式其中为下三角阵，当其对角线元素满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。二、 二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），3、有

9、下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ ）。(1), (2), (3), (4)三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.32、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，(1) (1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根

10、，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8分）已知方程组，其中，（1） （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足,六、（下列2题任选一题，

11、4分）1、 1、 数值积分公式形如 （1） （1） 试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。2、 2、 用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题一、判断题：（共16分，每小题分）、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）、 当时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。 （）、矩阵的范数。（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用） （ ）6、设，且有（单位阵），则有。（ ）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：，则的值分别为2，2。（ ）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设，则均差 _，_。2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 _阶。、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_阶的连续导数。4、向量,矩阵，则 _，_。5、 为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为_，_。