第1章 行列式课件版

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1、第一章 行列式,考研数一大纲要求,一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理 考试要求： 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.,1 2/3阶行列式的定义,1.1.0求解 线性方程组（一次方程组，不含平方项与交叉项）的引入。,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组

2、的系数行列式.,例1,解,1 2/3阶行列式的定义,1.1.0求解 线性方程组（一次方程组，不含平方项与交叉项）的引入。,1 2/3阶行列式的定义,记二阶行列式：,1 2/3阶行列式的定义,记二阶行列式： 三阶行列式：,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三

3、元线性方 程组引入的.,三、小结,3 n阶行列式的定义,2 全排列和对换,一、全排列及其逆序数,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,排列：由n个自然数1，2，n组成的一个无重复的有序数组i1，i2，in，称为一个n级排列。（共有n！种）,2 一、全排列,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数

4、.,例如 排列32514 中，（按1、2、3逐个分析）,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法 （总结）,方法1 （去小法）,分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆

5、序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,2 排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,小结,2 全排列及其逆序数,逆序数计算方法：定义法；划小法（从小起）。 计算逆序数: 1、1,3,5,(2n-1),2,4,6,2n 2、n，n-1，n-2，,

6、2,1,2 二、对换的分析,1、对换：n个数码的一个排列，任意两个数码i和j交换一下，其余数码保持不动，所得的一新排列。对排列所施行的这样一个变换叫一个对换。 相邻对换： 【讨论】 2、任一n个数码的排列通过一系列对换 3、n个数码的任意两个排列 通过对换 4、每一个相邻对换与排列的奇偶性 5、任意一次对换,2 二、对换的分析,1、对换：n个数码的一个排列，任意两个数码i和j交换一下，其余数码保持不动，所得的一新排列。对排列所施行的这样一个变换叫一个对换。 2、任一n个数码的排列通过一系列对换得标准次序。 3、n个数码的任意两个排列，总可以通过一系列对换实现互换。 4、定理1 每一个对换都改变

7、排列的奇偶性。 （分析：包括相邻和不相邻的情况） 对换次数：排列奇偶性的改变次数。,排列：由n个自然数1，2，n组成的一个无重复的有序数组i1，i2，in，称为一个n级排列。（共有n！种） 推论 奇排列：调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列：调成标准排列的对换次数为偶数,2 二、对换的分析,3 n阶行列式的定义,3 n阶行列式的定义,3 n阶行列式的定义,【回顾】 1、行列式是多项式的另一种形式； 2、行列式是“方”的，n行n列，n*n个元； 3、行列式是多项式，每一项由n个元相乘，n个元来自不同行不同列； 4、行列式是多项式，由？个项求和构成； 5、行列式的每一项的符号由n个元的行列标的排序

8、决定；,3 n阶行列式的定义,定义2 由n2个元素排成的n行n列， 所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和.,3 n阶行列式的定义,对行列式定义的理解： 一个行列式代表一个多项式（一个数值）； 这个值是取自n行n列的数表当中的“不同行、不同列”的n个元素 乘积的代数和。 即：求和式 的任一项都是取自n2个元素的数表中，为 不同行不同列的元素的一种排列 之乘积。 这样方法的排列乘积 一共有n！个； 行列式即是对这所有n阶排列求和。,3 n阶行列式的定义,行列式的定义: 共有n!项的n次齐次多项式,其中每一项都是不同行不同列的n个元素的乘积,且：带正号项和带负号项各占一半. 即:所有取自不同行

9、不同列的n个元素乘积的代数和. 注意：当n=1时，,3 n阶行列式的定义,【思考】 1、4阶行列式为什么用对角线法不正确？（与3阶对比） 2、如果n阶行列式中，负项的个数为偶数，则n大于等于？ 3、如果n阶行列式中等于零的元素个数大于 ，那么此行列式的值为？ 【讨论】 3、等于零的元素个数等于 ,值为？,3 n阶行列式的定义,【思考】 4、五阶行列式中，项a12a31a54a43a25的符号应取？ 四阶行列式中，带负号且包含因子a23和a31的项为？ 5、n阶行列式副对角线上的元素的乘积a1na2 n-1an1在行列式中符号为？正？负？其他？,3 n阶行列式的定义,思考:证明上（下）三角对角行

10、列式和对角行列式 例1、例2 （注：说明） 1 注意定义 2 注意总结结论,例4 证明对角行列式,3 n阶行列式的定义,4 思考：对换的分析,5、回顾“项a12a31a54a43a25的符号问题” 引理：,对换两元素的次序，行标与列标的逆序数和不改变奇偶性。,4 思考：对换的分析,5、回顾“项a12a31a54a43a25的符号问题” 引理：,4 思考：对换的分析,n阶行列式也可这样展开,4 n阶行列式的性质,4 n阶行列式的性质,概念定义：转置行列式,4 n阶行列式的性质,性质1 行列式的行与列（按原顺序）互换，其值不变。 表明在行列式中行与列的地位是对等的。,性质1 行列式与它的转置行列式

11、相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,4 n阶行列式 的性质,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,4 n阶行列式的性质,性质2（反对称性质） 行列式的两行（或两列）对换，行列式的值也反号。,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,是由行列式 变换 两行得到的,4 n阶行列式的性质,则有,即当 时,当 时,于是,则有,即当 时,当 时,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,4 n阶行列式的性质,性质2（反对称

12、性质） 行列式的两行（或两列）对换，行列式的值也反号。 推论： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 讨论：两行对换与两行n-1次对换,性质3 （线性性质） 两条行列式某行（或列）各元素都乘k，则等于行列式的值也乘k。,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,5 n阶行列式的性质,性质3 （线性性质） 两条行列式某行（或列）各元素都乘k，则等于行列式的值也乘k。,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,4 n阶行列式的性质,推论2：某行（列）元素全为零的行列式其值为零。,讨论：1、kD；2、D=0,4 n阶行列式的性质,性质

13、4 行列式中两行（或列）对应元素成比例，其值也为零。,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,4 n阶行列式的性质,4 n阶行列式的性质,性质5（线性性质） 如果行列式中某行的每一个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和。 讨论：2、|A+B|与|A|+|B|不同,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,4 n阶行列式的性质,4 n阶行列式的性质,性质6 把行列式中某行（列）元素都乘非零常数（如k），加到另一行（列）对应元素之上，行列式的值不变。,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)

14、对应的元素上去，行列式不变,例如,4 n阶行列式的性质,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,教材例7 计算,教材例8 计算,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例3,证明,证明,例题讲解（一）,作业练习,例题讲解（一）,作业练习,教材例11 计算2n阶行列式,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,5 行列式按行（列）展开,一、余子式与代数余子式 二、行列

15、式按行（列）展开法则 三、关于代数余子式的重要性质 四、小结,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,回顾与分析,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,6 行列式按行（列）展开,定理2 行列式展开定理（法则） 行列式展开：任一行各元素乘其代数余子式之和。,6 行列式按行（列）展开,定理2 行列式展开定理（法则） 行列式展开：任一行各元素乘其代数余子式之和。 推论 行列式展开定理ii（某一行元素乘另一行元素的代数余子式之和为零）,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,6 行列式按行（列）展开,用,3、仿照上述方法在,依次代替,可得,6 行列式按行（列）展开,其实，把（9）式左端行列式按第行展开，注意到它的（i,j）元的代数余子式等于det(aij)中(i,j)元的代数余子式，也可知（9）式成立。,6 行列式按行（列）展开,关于代数余子式的重要性质 p20,6 行列式按行（列）展开,6 行列式按行（列）展开,教材 例13 p20,例题与练习,6 行列式按行（列）展开,6 行列式按行（列）展开总结,行列式计算（或称展开）的基本方法： 1、直接按定义展