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1、1 数学二模拟试题二数学二模拟试题二 校区学管师班级姓名分数 一、选择题：一、选择题：1-81-8 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 3232 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1.1.设函数 2(1) ( )lim 1 nx nx n xe f x e ，则点0 x 为( )f x的() (A)连续点(B)跳跃间断点(C)可去间断点(D)无穷间断点 2.2.设( )f x是连续且单调增加的奇函数， 0 ( )(2) ()d x F xux
2、f xuu ，则( )F x是() (A)单调增加的奇函数(B)单调减少的奇函数 (C)单调增加的偶函数(D)单调减少的偶函数 2 3.3.设函数( )f x具有一阶连续导数，且 2 0 1( ) lim3 x x ef x xx ，则() (A) 5 (0)1,(0) 2 f f (B) 5 (0)1,(0) 2 f f (C) 5 (0)1,(0) 2 f f (D) 5 (0)1,(0) 2 f f 4.4.设 2 0 cosIx dx ， 2 sin 0 cos x Jxedx ，则() (A)0,0IJ(B)0,0IJ(C)0,0IJ(D)0,0IJ 3 5 5. .设函数 2 22
3、 42 22 0 ( , ) 00 x y xy xy f x y xy ，则( , )f x y在点(0,0)处() (A)连续，但偏导数不存在(B)不连续，但偏导数存在 (C)连续且偏导数存在(D)不连续且偏导数不存在 6 6. .将极坐标系下的二次积分 3 1 4 00 d(1cos , sin )frrrdr 转化为直角坐标系下的二 次积分为() (A) 22 0111 2 00 2 ( , )( , ) xx x dxf x y dydxf x y dy (B) 22 11 (1)21 (1) 2 110 2 ( , )( , ) xx x dxf x y dydxf x y dy
4、(C) 22 2 2 111 2 2 01 2 ( , )( , ) yy yy dyf x y dxdyf x y dx (D) 22 2 2 11111 2 2 0111 2 ( , )( , ) yy yy dyf x y dxdyf x y dx 4 7 7. .设,A B为三阶非零矩阵，满足ABO，其中 2 111 212 2 Baaa aaa ，则() (A)2a 时，必有( )1R A (B)2a 时，必有( )2R A (C)1a 时，必有( )1R A (D)1a 时，必有( )2R A 8 8. .已知二次型 22 123121323 ( ,)24f x x xxxax x
5、x x的秩为2， 则该二次型的正负惯性指 数分别为() (A)2,0(B)0,2(C)1,1(D)依赖于a的取值 5 9 9. .设( )f x为可导的偶函数， 2 0 (cos ) lim2 x fx x ，则曲线( )yf x在点( 1,( 1)f处的法 线方程为_. 1010. . 3 2 cos sin 1 cos xx dx x _. 6 1111. . 4 333 3 1 lim(arctan) (123) n n n _. 1212. .微分方程 2 42cosyyx 的特解形式为_. 7 1313. .设函数( , )zz x y由方程()xazybz确定，其中可导，, a b
6、为常数，且 0ab，则 zz ab xy _. 1414. .设 12 2 ,1 30 ，对任意的正整数n，矩阵 T ()nE_. 8 1515. .( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 设01x，证明(1) 2 (21) ln(1) (1) xx x x ；(2) 1 1 (1) (1)4 x x x x 1616. .( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 将yoz坐标面上的曲线段( ) ( ( )0,012)yf zf zz绕z轴旋转一周所得旋转曲面 与xoy坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 2 16 ()m，如果以 3 3(/ )ms的速度 把水注入容器内，在高度
7、为( )z m的位置，水的上表面积以 2 3 (/ ) 1 ms z 的速度增大，求： (1)曲线( )yf z的方程；(2)若将容器内水装满，需要多少时间? 9 1717. .( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 已知平面上两点(4,6),(6,4)AB，C为椭圆 22 1 520 xy 上的点，求ABC面积的最大值 和最小值. 18.18.( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 设区域:01,02Dxy，计算 2 1 (1)d . xy D Iyexy 10 19.19.( (本题满分本题满分 1010 分分) ) 设函数( )yy x满足 2 1 () 2 x yxox x
8、x ，且(1)1y，计算 2 1 ( )d .y xx 20.20.( (本题满分本题满分 1111 分分) ) 设曲线L的参数方程 sin (02 ) 1 cos xtt t yt ，求： (1)曲线L的参数方程确定的函数( )yy x的定义域； (2)曲线L与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而形成的旋转体体积 y V； (3)设曲线L的形心坐标为( , )x y，求. y 11 21.21.( (本题满分本题满分 1111 分分) ) 设函数( )f x在0,1上具有二阶连续导数，且(0)(1)0ff，证明： (1)至少存在一点(0,1)，使得 1( ) 2 ( )(0)(1) 24 f
9、fff ； (2)至少存在一点(0,1)，使得 ( ) (1)(0). 4 f ff 22.22.( (本题满分本题满分 1111 分分) ) 已知 123 , 为三个三维列向量， 112233. TTT A (1)证明存在矩阵B使得 T AB B； (2)当 123 , 线性无关时，证明( )3R A ； (3)当 123 123 2 ,2 ,4 314 时，求0Ax 的通解. 12 23.23.( (本题满分本题满分 1111 分分) ) 设A是二次型 123 ( ,)f x x x的矩阵，( )1R A ，齐次线性方程组(2)0EA x的通解为 1 xk，其中 1 ( 1,1,1)T ，
10、k为任意实数. (1)求解齐次线性方程组0Ax ； (2)求二次型 123 ( ,).f x x x 13 数学二模拟试题二数学二模拟试题二参考答案参考答案 校区学管师班级姓名分数 一、选择题：一、选择题：1-81-8 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 3232 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项符合题目要求项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1.1.设函数 2(1) ( )lim 1 nx nx n xe f x e ，则点0 x 为( )f x的() (A)连续点(B)跳跃间断点(C)
11、可去间断点(D)无穷间断点 解：解：应选(B) 2 2(1) 0 1 ( )lim0 12 0 nx nx n x xx xe f xx e ex ，故点0 x 为其跳跃间断点. 14 2.2.设( )f x是连续且单调增加的奇函数， 0 ( )(2) ()d x F xux f xuu ，则( )F x是() (A)单调增加的奇函数(B)单调减少的奇函数 (C)单调增加的偶函数(D)单调减少的偶函数 解：解：应选(B) 令xut， 0 00 ( )(2 ) ( )( d )( )d2( )d xx x F xxt f ttxf tttf tt 因为( )f t是奇函数，( )tf t为偶函数
12、，所以 0 ( )d x xf tt 为奇函数， 0 ( )d x tf tt 为奇函数，故 ( )F x为奇函数.(务必记住此处知识点的结论，要求会证明) 又因为 0 ( )( )d( )( )( )0 x F xf ttxf xxfxf x (在0与x之间)，故( )F x单调减 少. 15 3.3.设函数( )f x具有一阶连续导数，且 2 0 1( ) lim3 x x ef x xx ，则() (A) 5 (0)1,(0) 2 f f (B) 5 (0)1,(0) 2 f f (C) 5 (0)1,(0) 2 f f (D) 5 (0)1,(0) 2 f f 解：解：应选(A) 2
13、000 1( )( )( )(0)( )(0)1 limlimlim( ) 2222 xxx xxx exf xef xxfxeff xf fx xxxx 3，故知(0)1f ，又 00 (0)11 limlim 222 xx xx efe xx ， 0 ( )(0)1 lim(0) 22 x f xf f x ， 0 11 lim( )(0) 22 x fxf 所以 1 (0)3 2 f ，得 5 (0). 2 f 或使用泰勒公式求解 22 22 00 1 1() 1 (0)(0)( ) 1( ) 2 limlim x xx xxo xx ffxo x exf x xx 22 2 0 1 1
14、(0)(0)() 2 lim3 x fxfxo x x 故 1(0)0 1 (0)3 2 f f ，得 5 (0)1,(0). 2 f f 16 4.4.设 2 0 cosIx dx ， 2 sin 0 cos x Jxedx ，则() (A)0,0IJ(B)0,0IJ(C)0,0IJ(D)0,0IJ 解：解：应选(B) 2 2 2 000 2 111coscos coscos 22 xuuu Ix dxudududu uuu 2222 0000 1coscos1coscos 0 22 22 uttt dudtdtdt ut tt 2 cos 2 2 2sin0 t tx Jtedt ，所以0
15、,0.IJ 17 5 5. .设函数 2 22 42 22 0 ( , ) 00 x y xy xy f x y xy ，则( , )f x y在点(0,0)处() (A)连续，但偏导数不存在(B)不连续，但偏导数存在 (C)连续且偏导数存在(D)不连续且偏导数不存在 解：解：应选(B) 由于 2 4 44 00 1 lim( , )lim(0,0) 2 xx y x x f x yf xx ，故( , )f x y在点(0,0)处不连续 又因为(0,0)0,(0,0)0 xy ff，知( , )f x y在点(0,0)处两个偏导数均存在. 18 6 6. .将极坐标系下的二次积分 3 1 4 00 d(1cos , sin )frrrdr 转化为直角坐标系下的二 次积分为() (A) 22 0111 2 00 2 ( , )( , ) xx x dxf x y dydxf x y dy (B) 22 11 (1)21 (1) 2 110 2 ( , )( , ) xx x dxf x y dydxf x y d
