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1、保险精算学笔记：多元生命函数第一节 多元生命函数简介一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。二、多元生命函数的作用养老金给付场合n 合伙人联保场合n遗产税的计算场合三、多元剩余寿命的联合分布1、 联合密度函数2、 联合分布函数3、 联合生存函数4、 边际生存函数第二节 多元生命状况 一、连生状况1、 连生状况定义（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为： （2）连生状况剩余寿命的定义：（3）连生状况剩余寿命的性质：连生状况的剩余寿命的实质上就是 个生命的最小次序统计量2、 两个体连生状况的生命函数（1）分布函数（2）生
2、存函数特别：两个体剩余寿命独立场合（3）密度函数特别：两个体剩余寿命独立场合（4）死亡效力函数特别：两个体剩余寿命独立场合（5）两个体至少有一个在第 年内死亡的概率（6）连生状况整值剩余寿命为 的概率（7）剩余寿命的期望二、最后生存状况1、 最后生存状况的定义（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。当所有的成员都死亡时，最后生存状况就结束了。简记最后生存状况为： （2）最后生存状况剩余寿命的定义：（3）最后生存状况剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命的实质上就是 个生命的最大次序统计量2、 多生命状况剩余寿命的关系（1） （2） （3） （4） 3、两个体最后生存状况的
3、生命函数（1）分布函数等价公式（2）生存函数等价公式（3）密度函数等价公式（4）死亡效力函数（5）最后生存状况整值剩余寿命为 的概率等价公式（6）剩余寿命期望4、联合生命状态剩余寿命协方差分析第三节 联合生命模型一、 简介联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。我们主要研究简单的Common Shock 模型。二、 Common Shock
4、 模型1、定义：如果有 满足且有一个Common Shock 随机变量 ，它独立于 ，且服从指数生存函数令则2、联合生命状况分析记则（1）边际生存函数为（2）连生状况剩余寿命生存函数为（3）最后生存状况剩余寿命生存函数为特别， 独立时，等价于 。第四节 人寿保险与生存年金一、联合生命状况趸缴纯保费的确定1、 趸缴纯保费的确定原理2、 联合多生命状况趸缴纯保费的确定（1） 连生状况（2） 最后生存状况二、联合生命状况生存年金的确定1、 生存年金确定原理2、 联合生命状况生存年金的确定（1）连生状况（2）最后生存状况三、 连生状况合最后死亡状况的关系四、 继承年金1、 继承年金的定义：在联合生命状
5、态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为 。2、 终身继承年金3、 定期继承年金第五节 在特殊死亡律假定下求值一、Gomperz 和Makeham假定1、 Gomperz假定下寻找能替代连生状态的单个生命状态 ，即已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出 ，于是 2、 Makeham假定下由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用两个同年龄的连生状态 作替换，即已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有由这个等式可求出 ，于是 二、均匀分布假定 在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质
