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1、第3章 DSP芯片的定点运算3.1 数 的 定 标在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长，一般为16位或24位。显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。如无特别说明，本书均以16位字长为例。DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，1则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此二进制数0010000000000011b8195二进制数1111111111111100b-4对DSP芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数学运
2、算过程中的数不一定都是整数。那么，DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说，DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表3.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。从表3.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如：16进制数2000H8192，用Q0表示16进制数2000H0.25，用Q15表示但对于
3、DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。从表3.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为 1/32768 = 0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。浮点数与定点数的转换关系可表示为：浮点数(x)
4、转换为定点数()：定点数()转换为浮点数(x)：例如，浮点数 x=0.5，定标 Q15，则定点数，式中表示下取整。反之，一个用 Q15 表示的定点数16384，其浮点数为163842-1516384/32768=0.5。表3.1 Q表示、S表示及数值范围Q表示S表示十进制数表示范围Q15S0.15-1X0.9999695Q14S1.14-2X1.9999390Q13S2.13-4X3.9998779Q12S3.12-8X7.9997559Q11S4.11-16X15.9995117Q10S5.10-32X31.9990234Q9S6.9-64X63.9980469Q8S7.8-128X127.
5、9960938Q7S8.7-256X255.9921875Q6S9.6-512X511.9804375Q5S10.5-1024X1023.96875Q4S11.4-2048X2047.9375Q3S12.3-4096X4095.875Q2S13.2-8192X8191.75Q1S14.1-16384X16383.5Q0S15.0-32768X327673.2 高级语言：从浮点到定点在编写DSP模拟算法时，为了方便，一般都是采用高级语言(如C语言)来编写模拟程序。程序中所用的变量一般既有整型数，又有浮点数。如例3.1程序中的变量i是整型数，而pi是浮点数，hamwindow则是浮点数组。例3.1
6、 256点汉明窗计算inti;floatpi=3.14159;floathamwindow256;for(i=0;iQy，加法/减法结果z的定标值为Qz，则zx+y = 所以定点加法可以描述为：int x,y,z;long temp;/*临时变量*/tempy(QxQz), 若QxQzz(int)(temp(QzQx), 若QxQz例3.2 定点加法设x0.5，y3.1，则浮点运算结果为zx+y0.5+3.13.6;Qx15，Qy13，Qz13，则定点加法为：x16384；y25395;temp253952)29491;因为z的Q值为13，所以定点值z29491即为浮点值z29491/8192
7、3.6。例3.3 定点减法设x3.0，y3.1，则浮点运算结果为zx-y3.0-3.1-0.1;Qx13，Qy13，Qz15，则定点减法为：x24576；y25295；temp25395;tempx-temp24576-25395-819;因为QxQz，故 z(int)(-819Qy，加法结果z的定标值为Qz,则定点加法为：int x，y；long temp，z；tempy(Qx-Qz)，若QxQzztemp32767，因此Qx1，Qy0，Qz0，则定点加法为：x30000；y20000；temp20000135000;因为z的Q值为0，所以定点值z=35000就是浮点值，这里z是一个长整型数
8、。当加法或加法的结果超过16位表示范围时，如果程序员事先能够了解到这种情况，并且需要保证运算精度时，则必须保持32位结果。如果程序中是按照16位数进行运算的，则超过16位实际上就是出现了溢出。如果不采取适当的措施，则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。一般的定点DSP芯片都设有溢出保护功能，当溢出保护功能有效时，一旦出现溢出，则累加器ACC的结果为最大的饱和值(上溢为7FFFH，下溢为8001H)，从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。3.2.2 乘法运算的C语言定点模拟设浮点乘法运算的表达式为：float x,y,z;z = xy;假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定
9、标值为Qz，则z = xy = =所以定点表示的乘法为：int x,y,z;long temp;temp = (long)x;z = (tempy) (Qx+Qy-Qz);例3.5 定点乘法设x = 18.4，y = 36.8，则浮点运算值为z =18.436.8 = 677.12;根据上节，得Qx = 10，Qy = 9，Qz = 5，所以x = 18841；y = 18841；temp = 18841L;z = (18841L*18841)(10+9-5) = 354983281L14 = 21666;因为z的定标值为5，故定点 z = 21666即为浮点的 z = 21666/32 =
10、677.08。3.2.3 除法运算的C语言定点模拟设浮点除法运算的表达式为：float x,y,z;z = x/y;假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则z = x/y = 所以定点表示的除法为：int x,y,z;long temp;temp = (long)x;z = (temp(Qz-Qx+Qy)/y;例3.6 定点除法设x = 18.4，y = 36.8，浮点运算值为z = x/y = 18.4/36.8 = 0.5;根据上节，得Qx = 10，Qy = 9，Qz = 15；所以有x = 18841, y = 18841;temp = (lo
11、ng)18841;z = (18841L(15-10+9)/18841 = 308690944L/18841 = 16384;因为商z的定标值为15，所以定点z = 16384即为浮点 z = 16384/215= 0.5。3.2.4 程序变量的Q值确定在前面几节介绍的例子中，由于x、y、z的值都是已知的，因此从浮点变为定点时Q值很好确定。在实际的DSP应用中，程序中参与运算的都是变量，那么如何确定浮点程序中变量的Q值呢？从前面的分析可以知道，确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围，动态范围确定了，则Q值也就确定了。设变量的绝对值的最大值为，注意必须小于或等于32767。取一个整数n，使它
12、满足则有Q = 15-n例如，某变量的值在-1至1之间，即1，因此n = 0，Q15-n = 15。确定了变量的就可以确定其Q值，那么变量的又是如何确定的呢？一般来说，确定变量的有两种方法：一种是理论分析法，另一种是统计分析法。1理论分析法有些变量的动态范围通过理论分析是可以确定的。例如：(1) 三角函数，y = sin(x)或y = cos(x)，由三角函数知识可知，|y|1；(2) 汉明窗，y(n) = 0.54-0.46cos 2pn/(N-1) ，0nN-1。因为-1cos 2pn/(N-1)1，所以0.08y(n)1.0；(3) FIR卷积。y(n)=，设，且x(n)是模拟信号12位量化值，即有 211，则211；(4) 理论已经证明，在自相关线性预测编码(LPC)的程序设计中，反射系数满足下列不等式：，i= 1,2,p, p为LPC的阶数。2
